Διαγράμματα Venn — Σύνολα, Τομές και Ενώσεις

Ένα διάγραμμα Venn δείχνει σύνολα ως επικαλυπτόμενες περιοχές. Σε βοηθά να δεις τι ανήκει μόνο σε ένα σύνολο, τι είναι κοινό και τι βρίσκεται έξω από τα δύο σύνολα αλλά παραμένει μέσα στο καθολικό σύνολο.

Για δύο σύνολα $A$ και $B$, δύο ιδέες είναι οι πιο σημαντικές:

• η τομή $A \cap B$ είναι η επικάλυψη
• η ένωση $A \cup B$ είναι όλα όσα ανήκουν σε οποιοδήποτε από τα δύο σύνολα

Αν ένα πρόβλημα περιλαμβάνει κατηγορίες που επικαλύπτονται, ένα διάγραμμα Venn είναι συχνά ο πιο γρήγορος τρόπος να οργανώσεις τις πληροφορίες πριν κάνεις οποιονδήποτε υπολογισμό.

Πώς να διαβάζεις κάθε μέρος ενός διαγράμματος Venn

Για δύο σύνολα $A$ και $B$, ένα βασικό διάγραμμα Venn έχει τέσσερις χρήσιμες περιοχές:

• μόνο στο $A$
• μόνο στο $B$
• και στα $A$ και $B$
• σε κανένα από τα δύο σύνολα, αλλά ακόμα μέσα στο καθολικό σύνολο $U$

Η επικάλυψη είναι η περιοχή όπου οι μαθητές κάνουν πιο συχνά λάθος τοποθέτηση. Αν ένα στοιχείο ανήκει και στα δύο σύνολα, δεν μπαίνει ξεχωριστά και στους δύο κύκλους. Μπαίνει μία φορά, στην κοινή μεσαία περιοχή.

Γι’ αυτό τα διαγράμματα Venn βοηθούν να αποφεύγεται η διπλή μέτρηση.

Τι σημαίνουν η τομή, η ένωση και το συμπλήρωμα

Οι βασικές πράξεις συνόλων αντιστοιχούν σε ορατά μέρη του διαγράμματος:

• $A \cap B$: μόνο η επικάλυψη
• $A \cup B$: όλα όσα καλύπτονται από οποιονδήποτε κύκλο
• $A^c$: όλα όσα είναι στο $U$ και δεν είναι στο $A$

Το τελευταίο εξαρτάται από το καθολικό σύνολο. Αν το $U$ αλλάξει, μπορεί να αλλάξει και το συμπλήρωμα.

Για προβλήματα καταμέτρησης με πεπερασμένα σύνολα, ο βασικός κανόνας είναι:

$$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$$

Εδώ το $|A|$ σημαίνει το πλήθος των στοιχείων του $A$. Αφαιρείς την τομή μία φορά, επειδή αυτά τα στοιχεία μετρήθηκαν και στο $|A|$ και στο $|B|$.

Λυμένο παράδειγμα: μαθητές σε δύο ομίλους

Ας υποθέσουμε ότι μια τάξη έχει $30$ μαθητές.

• $18$ είναι στον όμιλο τέχνης
• $12$ είναι στον όμιλο σκακιού
• $5$ είναι και στους δύο ομίλους

Έστω ότι το $A$ είναι το σύνολο του ομίλου τέχνης και το $B$ το σύνολο του ομίλου σκακιού.

Ξεκίνα με την επικάλυψη:

$$|A \cap B| = 5$$

Τώρα συμπλήρωσε τα μη επικαλυπτόμενα μέρη:

$$\text{μόνο στο }A = 18 - 5 = 13$$ $$\text{μόνο στο }B = 12 - 5 = 7$$

Άρα ο αριθμός των μαθητών που είναι σε τουλάχιστον έναν από τους δύο ομίλους είναι:

$$|A \cup B| = 18 + 12 - 5 = 25$$

Αυτό αφήνει:

$$\text{κανένα από τα δύο} = 30 - 25 = 5$$

Ένα σωστό διάγραμμα Venn για αυτό το πρόβλημα θα έδειχνε:

• $13$ στην περιοχή μόνο του ομίλου τέχνης
• $5$ στην επικάλυψη
• $7$ στην περιοχή μόνο του ομίλου σκακιού
• $5$ έξω από τους δύο κύκλους

Αυτή η μία εικόνα απαντά ταυτόχρονα σε πολλές ερωτήσεις: και οι δύο όμιλοι, ακριβώς ένας όμιλος, τουλάχιστον ένας όμιλος και κανένας όμιλος.

Συνηθισμένα λάθη στα διαγράμματα Venn

Τοποθέτηση της επικάλυψης δύο φορές

Αν $5$ μαθητές είναι και στις δύο ομάδες, μην τοποθετήσεις αυτό το $5$ μία φορά στο $A$ και μία φορά στο $B$. Βάλ’ το στην κοινή περιοχή και μετά αφαίρεσέ το από κάθε συνολικό πλήθος όταν συμπληρώνεις τα εξωτερικά μέρη.

Σύγχυση της ένωσης με την τομή

Ένωση σημαίνει όλα όσα ανήκουν σε οποιοδήποτε από τα δύο σύνολα. Τομή σημαίνει μόνο ό,τι έχουν κοινό τα σύνολα. Αν η ερώτηση λέει «και τα δύο», ζητά την επικάλυψη, όχι ολόκληρη τη σκιασμένη περιοχή των δύο κύκλων.

Ξεχνάς το καθολικό σύνολο

Λέξεις όπως «κανένα από τα δύο» και συμβολισμοί όπως $A^c$ χρειάζονται ένα σαφές σύμπαν αναφοράς. Χωρίς το $U$, η εξωτερική περιοχή δεν ορίζεται πλήρως.

Υποθέτεις ότι το σχήμα είναι σε κλίμακα

Σε πολλά σχολικά προβλήματα, ένα διάγραμμα Venn είναι απλώς ένας λογικός χάρτης. Τα ακριβή μεγέθη των κύκλων συνήθως δεν παριστάνουν ακριβείς ποσότητες, εκτός αν το πρόβλημα λέει ότι το κάνουν.

Πότε χρησιμοποιούνται τα διαγράμματα Venn

Τα διαγράμματα Venn είναι πιο χρήσιμα όταν το πρόβλημα έχει κατηγορίες με επικάλυψη. Αυτό περιλαμβάνει τη βασική θεωρία συνόλων, προβλήματα καταμέτρησης, αποτελέσματα ερευνών και ερωτήσεις πιθανοτήτων που βασίζονται σε ενδεχόμενα όπως $A \cup B$ και $A \cap B$.

Είναι επίσης χρήσιμα στη λογική, όπου οι περιοχές μπορούν να παριστάνουν προτάσεις ή κατηγορίες. Η πραγματική αξία δεν είναι οι ίδιοι οι κύκλοι. Είναι η συνήθεια να ξεχωρίζεις το «μόνο εδώ», το «μόνο εκεί» και το «και στα δύο» πριν λύσεις το πρόβλημα.

Δοκίμασε ένα παρόμοιο πρόβλημα

Δοκίμασε αυτό μόνος σου: μια τάξη έχει $28$ μαθητές, οι $16$ είναι σε μία ομάδα, οι $11$ είναι σε μια άλλη και οι $4$ είναι και στις δύο. Συμπλήρωσε πρώτα την επικάλυψη και μετά βρες τις δύο περιοχές χωρίς επικάλυψη, την ένωση και τον αριθμό όσων δεν ανήκουν σε καμία ομάδα.