Diagrammes de Venn — ensembles, intersections et unions

Un diagramme de Venn représente des ensembles sous forme de régions qui se chevauchent. Il permet de voir ce qui appartient à un seul ensemble, ce qui est commun aux deux, et ce qui est en dehors des deux ensembles tout en restant dans l’ensemble universel.

Pour deux ensembles $A$ et $B$, deux idées sont essentielles :

• l’intersection $A \cap B$ est la zone de recouvrement
• l’union $A \cup B$ est tout ce qui appartient à l’un ou l’autre ensemble

Si un problème porte sur des catégories qui se recoupent, un diagramme de Venn est souvent le moyen le plus rapide d’organiser les informations avant de faire des calculs.

Comment lire chaque partie d’un diagramme de Venn

Pour deux ensembles $A$ et $B$, un diagramme de Venn de base comporte quatre régions utiles :

• seulement dans $A$
• seulement dans $B$
• dans $A$ et $B$
• dans aucun des deux ensembles, mais toujours dans l’ensemble universel $U$

La zone de recouvrement est la région que les élèves placent le plus souvent au mauvais endroit. Si un élément appartient aux deux ensembles, il ne va pas séparément dans les deux cercles. Il est placé une seule fois, dans la région centrale commune.

C’est pour cela que les diagrammes de Venn aident à éviter les doubles comptages.

Ce que signifient intersection, union et complémentaire

Les principales opérations sur les ensembles correspondent à des parties visibles du diagramme :

• $A \cap B$ : uniquement la zone de recouvrement
• $A \cup B$ : tout ce qui est couvert par l’un ou l’autre cercle
• $A^c$ : tout ce qui est dans $U$ mais pas dans $A$

Ce dernier point dépend de l’ensemble universel. Si $U$ change, le complémentaire peut changer lui aussi.

Pour les problèmes de dénombrement avec des ensembles finis, la règle clé est :

$$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$$

Ici, $|A|$ désigne le nombre d’éléments de $A$. On soustrait l’intersection une fois parce que ces éléments ont été comptés à la fois dans $|A|$ et dans $|B|$.

Exemple corrigé : des élèves dans deux clubs

Supposons qu’une classe compte $30$ élèves.

• $18$ sont au club d’arts plastiques
• $12$ sont au club d’échecs
• $5$ sont dans les deux clubs

Soit $A$ l’ensemble du club d’arts plastiques et $B$ l’ensemble du club d’échecs.

Commencez par la zone de recouvrement :

$$|A \cap B| = 5$$

Complétez maintenant les parties sans recouvrement :

$$\text{seulement }A = 18 - 5 = 13$$ $$\text{seulement }B = 12 - 5 = 7$$

Donc, le nombre d’élèves dans au moins un des deux clubs est :

$$|A \cup B| = 18 + 12 - 5 = 25$$

Il reste alors :

$$\text{aucun des deux} = 30 - 25 = 5$$

Un bon diagramme de Venn pour ce problème montrerait :

• $13$ dans la région arts plastiques seulement
• $5$ dans la zone de recouvrement
• $7$ dans la région échecs seulement
• $5$ à l’extérieur des deux cercles

Cette seule figure répond à plusieurs questions à la fois : les deux clubs, exactement un club, au moins un club, et aucun des deux clubs.

Erreurs fréquentes avec les diagrammes de Venn

Mettre deux fois la zone de recouvrement

Si $5$ élèves sont dans les deux groupes, ne placez pas ce $5$ une fois dans $A$ et une fois dans $B$. Placez-le dans la région commune, puis soustrayez-le de chaque total lorsque vous complétez les parties extérieures.

Confondre union et intersection

L’union signifie tout ce qui appartient à l’un ou l’autre ensemble. L’intersection signifie seulement ce que les ensembles ont en commun. Si la question dit « les deux », elle demande la zone de recouvrement, pas toute la zone coloriée des deux cercles.

Oublier l’ensemble universel

Des mots comme « aucun des deux » et une notation comme $A^c$ nécessitent un univers bien défini. Sans $U$, la région extérieure n’est pas complètement définie.

Supposer que le dessin est à l’échelle

Dans beaucoup d’exercices scolaires, un diagramme de Venn est simplement une carte logique. La taille exacte des cercles ne représente généralement pas des quantités exactes, sauf si l’énoncé le précise.

Quand utilise-t-on les diagrammes de Venn ?

Les diagrammes de Venn sont surtout utiles lorsque le problème comporte des catégories qui se recoupent. Cela inclut la théorie des ensembles de base, les problèmes de dénombrement, les résultats d’enquêtes et les questions de probabilité construites à partir d’événements comme $A \cup B$ et $A \cap B$.

Ils sont aussi utiles en logique, où les régions peuvent représenter des énoncés ou des catégories. Leur vraie valeur ne vient pas des cercles eux-mêmes. Elle vient de l’habitude de distinguer « seulement ici », « seulement là » et « dans les deux » avant de résoudre le problème.

Essayez un problème similaire

Essayez celui-ci par vous-même : une classe compte $28$ élèves, $16$ sont dans un groupe, $11$ dans un autre, et $4$ sont dans les deux. Remplissez d’abord la zone de recouvrement, puis trouvez les deux régions sans recouvrement, l’union et le nombre d’élèves dans aucun des deux groupes.