Venn Diyagramları — Kümeler, Kesişim ve Birleşim

Venn diyagramı, kümeleri birbiriyle örtüşen bölgeler olarak gösterir. Böylece yalnızca bir kümede olanları, ortak olanları ve her iki kümenin dışında kalıp yine de evrensel kümenin içinde olanları görmenizi sağlar.

İki küme $A$ ve $B$ için en önemli iki fikir şunlardır:

• kesişim $A \cap B$ örtüşen bölgedir
• birleşim $A \cup B$ kümelerden en az birinde olan her şeydir

Bir soru birbiriyle örtüşen kategoriler içeriyorsa, herhangi bir hesap yapmadan önce bilgiyi düzenlemenin en hızlı yollarından biri çoğu zaman Venn diyagramıdır.

Venn diyagramının her bölümü nasıl okunur

İki küme $A$ ve $B$ için temel bir Venn diyagramında dört yararlı bölge vardır:

• yalnızca $A$'da olanlar
• yalnızca $B$'de olanlar
• hem $A$ hem $B$ içinde olanlar
• hiçbir kümede olmayan ama yine de evrensel küme $U$ içinde olanlar

Örtüşen bölge, öğrencilerin en sık yanlış yerleştirdiği kısımdır. Bir eleman her iki kümeye de aitse, iki çembere ayrı ayrı yazılmaz. Bir kez, ortak orta bölgeye yazılır.

Venn diyagramlarının çift saymayı önlemeye yardımcı olmasının nedeni budur.

Kesişim, birleşim ve tümleyen ne anlama gelir

Temel küme işlemleri, diyagramdaki görünür bölgelere karşılık gelir:

• $A \cap B$: yalnızca örtüşen bölge
• $A \cup B$: çemberlerden en az biri tarafından kapsanan her şey
• $A^c$: $U$ içinde olup $A$'da olmayan her şey

Sonuncusu evrensel kümeye bağlıdır. $U$ değişirse, tümleyen de değişebilir.

Sonlu kümelerle yapılan sayma problemlerinde temel kural şudur:

$$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$$

Burada $|A|$, $A$ kümesindeki eleman sayısı demektir. Kesişimi bir kez çıkarırsınız çünkü bu elemanlar hem $|A|$ hem de $|B|$ içinde sayılmıştır.

Çözümlü örnek: iki kulüpteki öğrenciler

Bir sınıfta $30$ öğrenci olduğunu varsayalım.

• $18$'i resim kulübünde
• $12$'si satranç kulübünde
• $5$'i her iki kulüpte de

$A$, resim kulübü kümesi; $B$ ise satranç kulübü kümesi olsun.

Önce örtüşen bölgeden başlayın:

$$|A \cap B| = 5$$

Şimdi örtüşmeyen kısımları doldurun:

$$\text{yalnızca }A = 18 - 5 = 13$$ $$\text{yalnızca }B = 12 - 5 = 7$$

Buna göre iki kulüpten en az birinde olan öğrenci sayısı:

$$|A \cup B| = 18 + 12 - 5 = 25$$

Geriye şu kalır:

$$\text{hiçbiri} = 30 - 25 = 5$$

Bu soru için iyi bir Venn diyagramında şunlar gösterilir:

• yalnızca resim bölgesinde $13$
• örtüşen bölgede $5$
• yalnızca satranç bölgesinde $7$
• her iki çemberin dışında $5$

Bu tek görsel aynı anda birkaç soruyu cevaplar: her iki kulüp, tam olarak bir kulüp, en az bir kulüp ve hiçbir kulüp.

Venn diyagramlarında sık yapılan hatalar

Örtüşen bölgeyi iki kez yazmak

Eğer $5$ öğrenci her iki gruptaysa, bu $5$'i bir kez $A$'ya ve bir kez $B$'ye yazmayın. Ortak bölgeye yerleştirin, sonra dış kısımları doldururken bunu her toplamdan çıkarın.

Birleşimi kesişimle karıştırmak

Birleşim, kümelerden en az birinde olan her şey demektir. Kesişim ise yalnızca kümelerin ortak kısmıdır. Soru "her ikisi" diyorsa, her iki çemberin taralı alanının tamamını değil, örtüşen bölgeyi soruyordur.

Evrensel kümeyi unutmak

"Hiçbiri" gibi ifadeler ve $A^c$ gibi gösterimler, açıkça tanımlanmış bir evrene ihtiyaç duyar. $U$ olmadan dış bölge tam olarak tanımlanmış olmaz.

Çizimin ölçekli olduğunu varsaymak

Birçok okul probleminde Venn diyagramı sadece mantıksal bir haritadır. Soru özellikle belirtmedikçe çemberlerin tam boyutları genellikle gerçek miktarları göstermez.

Venn diyagramları ne zaman kullanılır

Venn diyagramları, soru örtüşen kategoriler içerdiğinde en kullanışlıdır. Buna temel küme teorisi, sayma problemleri, anket sonuçları ve $A \cup B$ ile $A \cap B$ gibi olaylardan kurulan olasılık soruları dahildir.

Ayrıca mantıkta da kullanışlıdır; burada bölgeler önermeleri veya kategorileri temsil edebilir. Asıl değer çemberlerin kendisinde değildir. Çözmeye başlamadan önce "yalnızca burada", "yalnızca orada" ve "ikisinde de" ayrımını yapma alışkanlığındadır.

Benzer bir soru deneyin

Şunu kendi başınıza deneyin: bir sınıfta $28$ öğrenci var, $16$'sı bir grupta, $11$'i başka bir grupta ve $4$'ü her ikisinde de. Önce örtüşen bölgeyi doldurun, sonra örtüşmeyen iki bölgeyi, birleşimi ve hiçbir grupta olmayanların sayısını bulun.