벤 다이어그램 — 집합, 교집합과 합집합

벤 다이어그램은 집합을 서로 겹치는 영역으로 나타낸 그림입니다. 한 집합에만 속하는 것, 두 집합에 공통으로 속하는 것, 그리고 두 집합 모두에 속하지 않지만 전체집합 안에는 있는 것을 한눈에 볼 수 있게 해 줍니다.

두 집합 $A$와 $B$에서는 특히 다음 두 가지가 중요합니다:

• 교집합 $A \cap B$는 겹치는 부분입니다
• 합집합 $A \cup B$는 두 집합 중 하나라도 속하는 모든 것입니다

문제에 서로 겹치는 범주가 나오면, 계산을 시작하기 전에 벤 다이어그램으로 정보를 정리하는 것이 가장 빠른 방법인 경우가 많습니다.

벤 다이어그램의 각 부분 읽는 법

두 집합 $A$와 $B$에 대한 기본적인 벤 다이어그램에는 유용한 영역이 네 가지 있습니다:

• $A$에만 속하는 부분
• $B$에만 속하는 부분
• $A$와 $B$ 모두에 속하는 부분
• 어느 집합에도 속하지 않지만 전체집합 $U$에는 속하는 부분

학생들이 가장 자주 잘못 넣는 곳은 겹치는 영역입니다. 어떤 원소가 두 집합 모두에 속한다면, 그것을 두 원 안에 각각 따로 넣는 것이 아닙니다. 가운데의 공통 영역에 한 번만 넣어야 합니다.

이 때문에 벤 다이어그램은 중복 계산을 막는 데 도움이 됩니다.

교집합, 합집합, 여집합의 뜻

주요 집합 연산은 다이어그램의 눈에 보이는 부분과 대응됩니다:

• $A \cap B$: 겹치는 부분만
• $A \cup B$: 두 원 중 하나라도 덮는 모든 부분
• $A^c$: 전체집합 $U$ 안에서 $A$에 속하지 않는 모든 것

마지막 개념은 전체집합에 따라 달라집니다. $U$가 바뀌면 여집합도 달라질 수 있습니다.

원소 개수를 세는 유한집합 문제에서는 다음 규칙이 핵심입니다:

$$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$$

여기서 $|A|$는 집합 $A$의 원소 개수를 뜻합니다. 교집합에 있는 원소들은 $|A|$와 $|B|$에서 모두 한 번씩 세어졌기 때문에, 한 번 빼 주어야 합니다.

예제: 두 동아리에 속한 학생들

어떤 반에 학생이 $30$명 있다고 합시다.

• $18$명은 미술 동아리에 속합니다
• $12$명은 체스 동아리에 속합니다
• $5$명은 두 동아리 모두에 속합니다

$A$를 미술 동아리 집합, $B$를 체스 동아리 집합이라고 하겠습니다.

먼저 겹치는 부분부터 채웁니다:

$$|A \cap B| = 5$$

이제 겹치지 않는 부분을 채웁니다:

$$\text{only }A = 18 - 5 = 13$$ $$\text{only }B = 12 - 5 = 7$$

따라서 두 동아리 중 적어도 하나에는 속하는 학생 수는 다음과 같습니다:

$$|A \cup B| = 18 + 12 - 5 = 25$$

그러면 남는 학생 수는:

$$\text{neither} = 30 - 25 = 5$$

이 문제의 벤 다이어그램에는 다음이 표시되어야 합니다:

• 미술 동아리에만 속하는 영역에 $13$
• 겹치는 영역에 $5$
• 체스 동아리에만 속하는 영역에 $7$
• 두 원 바깥에 $5$

이 한 장의 그림만으로도 여러 질문에 한꺼번에 답할 수 있습니다. 두 동아리 모두에 속하는 학생 수, 정확히 한 동아리에만 속하는 학생 수, 적어도 한 동아리에 속하는 학생 수, 그리고 어느 동아리에도 속하지 않는 학생 수를 모두 알 수 있습니다.

벤 다이어그램에서 자주 하는 실수

겹치는 부분을 두 번 넣기

$5$명의 학생이 두 집단 모두에 속한다면, 그 $5$를 $A$에 한 번, $B$에 한 번 따로 넣으면 안 됩니다. 공통 영역에 넣고, 바깥쪽 부분을 채울 때는 각 전체 수에서 그것을 빼야 합니다.

합집합과 교집합을 헷갈리기

합집합은 두 집합 중 하나라도 속하는 모든 것입니다. 교집합은 두 집합이 공통으로 가지는 것만 뜻합니다. 문제에서 "둘 다"라고 하면, 두 원 전체가 아니라 겹치는 부분을 묻는 것입니다.

전체집합을 잊기

"어느 쪽에도 속하지 않음" 같은 표현이나 $A^c$ 같은 표기는 분명한 전체집합이 필요합니다. $U$가 없으면 바깥 영역이 정확히 정의되지 않습니다.

그림이 비율대로 그려졌다고 가정하기

학교 수학 문제에서 벤 다이어그램은 단지 논리적인 배치도인 경우가 많습니다. 문제에서 따로 말하지 않는 한, 원의 크기가 실제 수량을 정확히 나타내는 것은 아닙니다.

벤 다이어그램은 언제 쓰일까

벤 다이어그램은 서로 겹치는 범주가 있는 문제에서 가장 유용합니다. 여기에는 기초 집합론, 개수 세기 문제, 설문조사 결과, 그리고 $A \cup B$나 $A \cap B$ 같은 사건으로 이루어진 확률 문제가 포함됩니다.

또한 논리학에서도 유용하며, 이때 각 영역은 명제나 범주를 나타낼 수 있습니다. 진짜 중요한 점은 원 자체가 아닙니다. 문제를 풀기 전에 "여기에만", "저기에만", "둘 다"를 구분하는 습관입니다.

비슷한 문제를 풀어 보세요

다음 문제를 스스로 풀어 보세요. 어떤 반에 학생이 $28$명 있고, 한 집단에 $16$명, 다른 집단에 $11$명, 그리고 두 집단 모두에 속하는 학생이 $4$명 있습니다. 먼저 겹치는 부분을 채운 뒤, 겹치지 않는 두 영역, 합집합, 그리고 어느 집단에도 속하지 않는 학생 수를 구해 보세요.