对称性——轴对称、旋转对称与中心对称

对称性是指一个图形经过反射或旋转等变换后，仍能与自身重合。学校阶段主要讨论的类型有轴对称、旋转对称和中心对称，它们的区别就在于：究竟是哪一种运动能让图形与自身精确重合。

轴对称对应反射。旋转对称对应绕固定点旋转。中心对称则是其中一种特殊情况，即旋转 $180$ 度后能够重合。

轴对称表示存在一条对称轴

如果一个图形沿某条直线反射后，所得图形能与原图形完全重合，那么这个图形就具有轴对称。那条直线叫作对称轴。

等腰三角形就是一个简单的例子。它有一条对称轴，这条线从顶点到底边中点。

旋转对称表示旋转后能重合

如果一个图形绕某个固定点旋转一个大于 $0$ 且小于 $360$ 度的角后，仍然看起来没有变化，那么它就具有旋转对称。这个旋转通常是绕图形的中心进行的。

人们常用旋转对称的阶数来描述这种性质。如果一个图形在一整周旋转中有 $n$ 个位置能与自身重合，并把起始位置算一次，那么它就具有 $n$ 阶旋转对称。

中心对称表示半周旋转后能重合

如果一个图形绕某一点旋转 $180$ 度后能与自身重合，那么它就具有中心对称。对于平面图形来说，这和“旋转半周的旋转对称”是同一个意思。

并不是所有具有轴对称的图形都具有中心对称。因为中心对称的要求更严格，必须满足旋转半周后也能重合。

例题：长方形的对称性

考虑一个非正方形的长方形。它比正方形更适合作为检验例子，因为它有一些对称性，但不是所有可能的对称性都有。

首先，它具有轴对称。过中心的竖直线和水平线都能把它分成完全对应的两半，所以它有 $2$ 条对称轴。

其次，它具有旋转对称。将长方形旋转 $180$ 度后能与自身重合，但旋转 $90$ 度则不能，除非这个长方形实际上是正方形。因此，非正方形的长方形具有 $2$ 阶旋转对称。

第三，它具有中心对称。因为旋转 $180$ 度后能够重合，所以长方形的中心就是它的对称中心。

这一个例子就能把几个概念清楚地区分开：

• 轴对称问的是：“反射后能重合吗？”
• 旋转对称问的是：“旋转后能重合吗？”
• 中心对称问的是：“旋转半周后能重合吗？”

这也说明了为什么这些术语不能混用。一个图形可以同时具有轴对称和中心对称，但仍然不具有 $4$ 阶旋转对称。

判断对称性时的常见错误

一个常见错误是只凭肉眼觉得图形“看起来平衡”就认为它是对称的。对称要求的是精确重合，而不是大致看上去差不多。

另一个错误是把旋转角度和旋转对称的阶数混淆。如果最小的有效旋转角是 $180$ 度，那么它对应的是 $2$ 阶旋转对称，而不是 $180$ 阶。

第三个错误是认为有轴对称就一定有中心对称。等腰三角形有轴对称，但旋转 $180$ 度后并不能与自身重合。

对称性的应用

对称性在几何中非常常见，因为它有助于对图形进行分类，也能让推理更简洁。如果一个图形具有对称性，那么图形的一部分往往能告诉你另一部分的重要信息。

它在设计、建筑、物理、化学和艺术中也很重要。图案、标志、晶体以及许多自然界中的形态，只要弄清楚哪些反射或旋转不会改变它们，就会更容易描述。

试试类似的问题

用同样的三个问题来检验等边三角形和正六边形：反射后能重合吗？是否存在一个小于 $360$ 度的旋转角使它重合？旋转 $180$ 度后能重合吗？这是快速看出哪些对称性质总是一起出现、哪些不会一起出现的好方法。