Đối xứng — Đối xứng trục, đối xứng quay và đối xứng tâm

Đối xứng nghĩa là một hình trùng với chính nó sau một phép biến hình như phép phản xạ hoặc phép quay. Các loại chính ở bậc học phổ thông là đối xứng trục, đối xứng quay và đối xứng tâm, và sự khác nhau đơn giản nằm ở việc chuyển động nào làm hình trùng khít với chính nó.

Đối xứng trục dùng phép phản xạ. Đối xứng quay dùng phép quay quanh một điểm cố định. Đối xứng tâm là trường hợp đặc biệt khi phép quay $180$ độ có tác dụng.

Đối xứng trục nghĩa là có một đường gương phù hợp

Một hình có đối xứng trục nếu bạn có thể phản xạ nó qua một đường thẳng và hình phản xạ trùng khít hoàn toàn với hình ban đầu. Đường đó được gọi là trục đối xứng.

Một ví dụ đơn giản là tam giác cân. Nó có một trục đối xứng đi từ đỉnh trên xuống trung điểm của đáy.

Đối xứng quay nghĩa là phép quay có tác dụng

Một hình có đối xứng quay nếu nó có thể được quay đi một góc lớn hơn $0$ và nhỏ hơn $360$ độ mà vẫn không thay đổi. Phép quay được thực hiện quanh một điểm cố định, thường là tâm.

Người ta thường mô tả điều này bằng bậc đối xứng quay. Một hình có đối xứng quay bậc $n$ nếu có $n$ vị trí trùng khít trong một vòng quay đầy đủ, tính vị trí ban đầu một lần.

Đối xứng tâm nghĩa là phép quay nửa vòng có tác dụng

Một hình có đối xứng tâm nếu nó trùng với chính nó sau phép quay $180$ độ quanh một điểm. Với các hình phẳng, đây chính là cùng một ý tưởng với đối xứng quay theo phép quay nửa vòng.

Không phải mọi hình có đối xứng trục đều có đối xứng tâm. Điều kiện này chặt chẽ hơn vì phép quay nửa vòng phải có tác dụng.

Ví dụ có lời giải: đối xứng của hình chữ nhật

Xét một hình chữ nhật không phải hình vuông. Đây là trường hợp kiểm tra tốt hơn hình vuông vì nó có một số đối xứng, nhưng không có mọi loại đối xứng có thể có.

Thứ nhất, nó có đối xứng trục. Đường thẳng đứng đi qua tâm và đường nằm ngang đi qua tâm đều chia nó thành hai nửa trùng khít, nên nó có $2$ trục đối xứng.

Thứ hai, nó có đối xứng quay. Phép quay $180$ độ biến hình chữ nhật thành chính nó, nhưng phép quay $90$ độ thì không, trừ khi hình chữ nhật đó thực ra là hình vuông. Vì vậy, một hình chữ nhật không phải hình vuông có đối xứng quay bậc $2$.

Thứ ba, nó có đối xứng tâm. Vì phép quay $180$ độ có tác dụng, nên tâm của hình chữ nhật là một tâm đối xứng.

Ví dụ duy nhất này tách bạch các ý tưởng rất rõ:

• Đối xứng trục hỏi: "Phép phản xạ có tác dụng không?"
• Đối xứng quay hỏi: "Phép quay có tác dụng không?"
• Đối xứng tâm hỏi: "Phép quay nửa vòng có tác dụng không?"

Điều đó cũng cho thấy vì sao không nên dùng lẫn các thuật ngữ này. Một hình có thể có đối xứng trục và đối xứng tâm nhưng vẫn không có đối xứng quay bậc $4$.

Những lỗi thường gặp khi xác định đối xứng

Một lỗi phổ biến là cho rằng một hình đối xứng chỉ vì nhìn bằng mắt thấy cân đối. Đối xứng đòi hỏi sự trùng khít chính xác, không phải chỉ là cảm giác nhìn qua.

Một lỗi khác là nhầm lẫn giữa góc quay và bậc đối xứng quay. Nếu góc quay nhỏ nhất có tác dụng là $180$ độ, thì hình có đối xứng quay bậc $2$, không phải bậc $180$.

Lỗi thứ ba là cho rằng có đối xứng trục thì tự động có đối xứng tâm. Tam giác cân có đối xứng trục, nhưng phép quay $180$ độ không biến nó thành chính nó.

Đối xứng được dùng ở đâu

Đối xứng xuất hiện khắp hình học vì nó giúp phân loại hình và đơn giản hóa lập luận. Nếu một hình có tính đối xứng, thì một phần của nó thường cho bạn biết điều hữu ích về phần khác.

Nó cũng quan trọng trong thiết kế, kiến trúc, vật lý, hóa học và nghệ thuật. Các hoa văn, logo, tinh thể và nhiều dạng tự nhiên dễ mô tả hơn khi bạn biết những phép phản xạ hoặc phép quay nào giữ chúng không đổi.

Thử một bài tương tự

Hãy kiểm tra một tam giác đều và một lục giác đều bằng cùng ba câu hỏi: phép phản xạ có tác dụng không, có phép quay nào nhỏ hơn $360$ độ có tác dụng không, và phép quay $180$ độ có tác dụng không? Đây là cách nhanh để thấy phần nào của đối xứng luôn đi cùng nhau và phần nào thì không.