Symetria — symetria osiowa, obrotowa i środkowa

Symetria oznacza, że figura pokrywa się sama ze sobą po przekształceniu, takim jak odbicie lub obrót. Główne rodzaje omawiane w szkole to symetria osiowa, symetria obrotowa i symetria środkowa, a różnica między nimi polega po prostu na tym, jaki ruch sprawia, że figura dokładnie pokrywa się sama ze sobą.

Symetria osiowa wykorzystuje odbicie. Symetria obrotowa wykorzystuje obrót wokół ustalonego punktu. Symetria środkowa to szczególny przypadek, gdy działa obrót o $180$ stopni.

Symetria osiowa oznacza, że działa odbicie względem prostej

Figura ma symetrię osiową, jeśli można odbić ją względem prostej i obraz po odbiciu dokładnie pokrywa się z figurą wyjściową. Tę prostą nazywamy osią symetrii.

Trójkąt równoramienny jest prostym przykładem. Ma jedną oś symetrii poprowadzoną od wierzchołka do środka podstawy.

Symetria obrotowa oznacza, że działa obrót

Figura ma symetrię obrotową, jeśli można ją obrócić o pewien kąt większy niż $0$ i mniejszy niż $360$ stopni, a mimo to wygląda tak samo. Obrót wykonuje się wokół ustalonego punktu, zwykle środka.

Często opisuje się to za pomocą rzędu symetrii obrotowej. Figura ma symetrię obrotową rzędu $n$, jeśli podczas jednego pełnego obrotu występuje $n$ położeń, w których pokrywa się sama ze sobą, licząc położenie początkowe tylko raz.

Symetria środkowa oznacza, że działa półobrót

Figura ma symetrię środkową, jeśli pokrywa się sama ze sobą po obrocie o $180$ stopni względem punktu. Dla figur na płaszczyźnie jest to ta sama idea co symetria obrotowa przy półobrocie.

Nie każda figura mająca symetrię osiową ma też symetrię środkową. Ten warunek jest bardziej wymagający, ponieważ półobrót musi rzeczywiście działać.

Przykład: symetria prostokąta

Weźmy prostokąt, który nie jest kwadratem. To lepszy przykład niż kwadrat, ponieważ ma pewne symetrie, ale nie wszystkie możliwe.

Po pierwsze, ma symetrię osiową. Pionowa prosta przechodząca przez środek i pozioma prosta przechodząca przez środek dzielą go na dwie dokładnie pasujące części, więc ma $2$ osie symetrii.

Po drugie, ma symetrię obrotową. Obrót o $180$ stopni przekształca prostokąt w niego samego, ale obrót o $90$ stopni już nie, chyba że prostokąt jest w rzeczywistości kwadratem. Zatem prostokąt niebędący kwadratem ma symetrię obrotową rzędu $2$.

Po trzecie, ma symetrię środkową. Skoro działa obrót o $180$ stopni, to środek prostokąta jest środkiem symetrii.

Ten jeden przykład wyraźnie rozdziela te pojęcia:

• Symetria osiowa pyta: „Czy działa odbicie?”
• Symetria obrotowa pyta: „Czy działa obrót?”
• Symetria środkowa pyta: „Czy działa półobrót?”

To pokazuje też, dlaczego nie należy mieszać tych pojęć. Figura może mieć symetrię osiową i środkową, a mimo to nie mieć symetrii obrotowej rzędu $4$.

Częste błędy przy rozpoznawaniu symetrii

Jednym z częstych błędów jest uznawanie figury za symetryczną tylko dlatego, że na oko wygląda na zrównoważoną. Symetria wymaga dokładnego pokrycia, a nie jedynie przybliżonego wrażenia wzrokowego.

Innym błędem jest mylenie kąta obrotu z rzędem symetrii obrotowej. Jeśli najmniejszy działający obrót ma $180$ stopni, to daje symetrię obrotową rzędu $2$, a nie rzędu $180$.

Trzecim błędem jest zakładanie, że symetria osiowa automatycznie daje symetrię środkową. Trójkąt równoramienny ma symetrię osiową, ale obrót o $180$ stopni nie przekształca go w niego samego.

Gdzie wykorzystuje się symetrię

Symetria pojawia się w całej geometrii, ponieważ pomaga klasyfikować figury i upraszczać rozumowanie. Jeśli figura jest symetryczna, to jedna jej część często mówi nam coś użytecznego o innej części.

Ma ona znaczenie także w projektowaniu, architekturze, fizyce, chemii i sztuce. Wzory, logo, kryształy i wiele form występujących w naturze łatwiej opisać, gdy wiadomo, które odbicia lub obroty pozostawiają je bez zmian.

Spróbuj podobnego zadania

Sprawdź trójkąt równoboczny i sześciokąt foremny, zadając te same trzy pytania: czy działa odbicie, czy działa jakiś obrót mniejszy niż $360$ stopni oraz czy działa obrót o $180$ stopni? To szybki sposób, by zobaczyć, które rodzaje symetrii zawsze występują razem, a które nie.