สมมาตร — สมมาตรตามเส้น สมมาตรเชิงหมุน และสมมาตรจุด

สมมาตรหมายถึงรูปร่างหนึ่งสามารถทับกับตัวเองได้หลังการแปลง เช่น การสะท้อนหรือการหมุน ประเภทหลักที่เรียนกันในระดับโรงเรียนคือ สมมาตรตามเส้น สมมาตรเชิงหมุน และสมมาตรจุด โดยความต่างอยู่ที่ว่าต้องใช้การเคลื่อนแบบใดจึงจะทำให้รูปร่างทับกับตัวเองได้พอดี

สมมาตรตามเส้นใช้การสะท้อน สมมาตรเชิงหมุนใช้การหมุนรอบจุดคงที่ ส่วนสมมาตรจุดเป็นกรณีพิเศษที่การหมุน $180$ องศาใช้ได้

สมมาตรตามเส้นหมายถึงมีเส้นสะท้อนที่ใช้ได้

รูปร่างจะมีสมมาตรตามเส้น ถ้าคุณสะท้อนมันข้ามเส้นเส้นหนึ่งแล้วภาพที่ได้ทับกับรูปร่างเดิมพอดี เส้นนั้นเรียกว่าเส้นสมมาตร

สามเหลี่ยมหน้าจั่วเป็นตัวอย่างง่าย ๆ มันมีเส้นสมมาตร $1$ เส้น จากจุดยอดด้านบนลงมายังจุดกึ่งกลางของฐาน

สมมาตรเชิงหมุนหมายถึงหมุนแล้วใช้ได้

รูปร่างจะมีสมมาตรเชิงหมุน ถ้าสามารถหมุนด้วยมุมบางมุมที่มากกว่า $0$ และน้อยกว่า $360$ องศา แล้วรูปร่างยังคงดูเหมือนไม่เปลี่ยนไป การหมุนนั้นเกิดรอบจุดคงที่ ซึ่งมักเป็นจุดศูนย์กลาง

คนมักอธิบายเรื่องนี้ด้วยอันดับของสมมาตรเชิงหมุน รูปร่างมีสมมาตรเชิงหมุนอันดับ $n$ ถ้ามีตำแหน่งที่ทับกันได้ $n$ ตำแหน่งในการหมุนครบหนึ่งรอบ โดยนับตำแหน่งเริ่มต้นเพียงครั้งเดียว

สมมาตรจุดหมายถึงการหมุนครึ่งรอบใช้ได้

รูปร่างจะมีสมมาตรจุด ถ้ามันทับกับตัวเองได้หลังการหมุน $180$ องศารอบจุดหนึ่ง สำหรับรูปในระนาบ แนวคิดนี้เหมือนกับสมมาตรเชิงหมุนแบบหมุนครึ่งรอบ

ไม่ใช่ทุกรูปร่างที่มีสมมาตรตามเส้นจะมีสมมาตรจุด เงื่อนไขนี้เข้มกว่า เพราะการหมุนครึ่งรอบต้องใช้ได้จริง

ตัวอย่างทำโจทย์: สมมาตรของสี่เหลี่ยมผืนผ้า

พิจารณาสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ไม่ใช่สี่เหลี่ยมจัตุรัส มันเป็นตัวอย่างที่ดีกว่าสี่เหลี่ยมจัตุรัส เพราะมีสมมาตรบางแบบ แต่ไม่ได้มีครบทุกแบบที่เป็นไปได้

อย่างแรก มันมีสมมาตรตามเส้น เส้นตั้งผ่านจุดศูนย์กลางและเส้นนอนผ่านจุดศูนย์กลางต่างแบ่งมันออกเป็นสองส่วนที่ทับกันพอดี ดังนั้นมันจึงมีเส้นสมมาตร $2$ เส้น

อย่างที่สอง มันมีสมมาตรเชิงหมุน การหมุน $180$ องศาทำให้สี่เหลี่ยมผืนผ้าทับกับตัวเองได้ แต่การหมุน $90$ องศาจะใช้ไม่ได้ เว้นแต่ว่าสี่เหลี่ยมนั้นเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสจริง ๆ ดังนั้นสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ไม่ใช่สี่เหลี่ยมจัตุรัสจึงมีสมมาตรเชิงหมุนอันดับ $2$

อย่างที่สาม มันมีสมมาตรจุด เนื่องจากการหมุน $180$ องศาใช้ได้ จุดศูนย์กลางของสี่เหลี่ยมผืนผ้าจึงเป็นจุดสมมาตร

ตัวอย่างเดียวนี้ช่วยแยกแนวคิดทั้งสามได้ชัดเจน:

• สมมาตรตามเส้นถามว่า "การสะท้อนใช้ได้ไหม?"
• สมมาตรเชิงหมุนถามว่า "การหมุนใช้ได้ไหม?"
• สมมาตรจุดถามว่า "การหมุนครึ่งรอบใช้ได้ไหม?"

สิ่งนี้ยังแสดงให้เห็นด้วยว่าไม่ควรใช้คำเหล่านี้ปนกัน รูปร่างหนึ่งอาจมีสมมาตรตามเส้นและสมมาตรจุด แต่ยังไม่มีสมมาตรเชิงหมุนอันดับ $4$ ก็ได้

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเมื่อระบุสมมาตร

ข้อผิดพลาดอย่างหนึ่งคือคิดว่ารูปร่างมีสมมาตรเพียงเพราะมองด้วยตาแล้วดูสมดุล สมมาตรต้องการการทับกันอย่างพอดี ไม่ใช่แค่ความรู้สึกว่าดูคล้าย ๆ สมดุล

อีกข้อผิดพลาดคือสับสนระหว่างมุมหมุนกับอันดับของสมมาตรเชิงหมุน ถ้ามุมหมุนที่น้อยที่สุดที่ใช้ได้คือ $180$ องศา นั่นหมายถึงสมมาตรเชิงหมุนอันดับ $2$ ไม่ใช่อันดับ $180$

ข้อผิดพลาดข้อที่สามคือคิดว่าสมมาตรตามเส้นจะทำให้มีสมมาตรจุดโดยอัตโนมัติ สามเหลี่ยมหน้าจั่วมีสมมาตรตามเส้น แต่การหมุน $180$ องศาไม่ได้ทำให้มันทับกับตัวเอง

สมมาตรถูกใช้ที่ไหนบ้าง

สมมาตรปรากฏอยู่ทั่วทั้งเรขาคณิต เพราะช่วยในการจัดจำแนกรูปร่างและทำให้การให้เหตุผลง่ายขึ้น ถ้ารูปหนึ่งมีสมมาตร ส่วนหนึ่งของรูปมักบอกข้อมูลที่เป็นประโยชน์เกี่ยวกับอีกส่วนหนึ่งได้

สมมาตรยังสำคัญในงานออกแบบ สถาปัตยกรรม ฟิสิกส์ เคมี และศิลปะ ลวดลาย โลโก้ ผลึก และรูปแบบตามธรรมชาติจำนวนมากจะอธิบายได้ง่ายขึ้นเมื่อคุณรู้ว่าการสะท้อนหรือการหมุนแบบใดทำให้มันไม่เปลี่ยนแปลง

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองทดสอบสามเหลี่ยมด้านเท่าและหกเหลี่ยมด้านเท่าด้วยคำถามสามข้อเดิม: การสะท้อนใช้ได้ไหม มีการหมุนที่น้อยกว่า $360$ องศาแล้วใช้ได้ไหม และการหมุน $180$ องศาใช้ได้ไหม วิธีนี้เป็นวิธีเร็ว ๆ ที่ช่วยให้เห็นว่าส่วนใดของสมมาตรมักมาด้วยกันเสมอ และส่วนใดไม่จำเป็นต้องมาด้วยกัน