Συμμετρία — Αξονική, Περιστροφική & Κεντρική Συμμετρία

Συμμετρία σημαίνει ότι ένα σχήμα ταυτίζεται με τον εαυτό του μετά από έναν μετασχηματισμό, όπως ανάκλαση ή περιστροφή. Τα βασικά είδη στο σχολείο είναι η αξονική συμμετρία, η περιστροφική συμμετρία και η κεντρική συμμετρία, και η διαφορά τους είναι απλώς ποια κίνηση κάνει το σχήμα να συμπέσει ακριβώς με τον εαυτό του.

Η αξονική συμμετρία χρησιμοποιεί ανάκλαση. Η περιστροφική συμμετρία χρησιμοποιεί περιστροφή γύρω από ένα σταθερό σημείο. Η κεντρική συμμετρία είναι η ειδική περίπτωση όπου λειτουργεί μια περιστροφή $180$ μοιρών.

Η αξονική συμμετρία σημαίνει ότι λειτουργεί ένας άξονας κατοπτρισμού

Ένα σχήμα έχει αξονική συμμετρία αν μπορείς να το ανακλάσεις ως προς μια ευθεία και το ανακλώμενο σχήμα να ταυτίζεται ακριβώς με το αρχικό. Αυτή η ευθεία λέγεται άξονας συμμετρίας.

Ένα ισοσκελές τρίγωνο είναι ένα απλό παράδειγμα. Έχει έναν άξονα συμμετρίας από την κορυφή έως το μέσο της βάσης.

Η περιστροφική συμμετρία σημαίνει ότι λειτουργεί μια περιστροφή

Ένα σχήμα έχει περιστροφική συμμετρία αν μπορεί να περιστραφεί κατά κάποια γωνία μεγαλύτερη από $0$ και μικρότερη από $360$ μοίρες και να παραμένει αμετάβλητο. Η περιστροφή γίνεται γύρω από ένα σταθερό σημείο, συνήθως το κέντρο.

Συχνά αυτό περιγράφεται με την τάξη περιστροφικής συμμετρίας. Ένα σχήμα έχει περιστροφική συμμετρία τάξης $n$ αν υπάρχουν $n$ θέσεις ταύτισης σε μία πλήρη περιστροφή, μετρώντας την αρχική θέση μία φορά.

Η κεντρική συμμετρία σημαίνει ότι λειτουργεί μια ημιστροφή

Ένα σχήμα έχει κεντρική συμμετρία αν ταυτίζεται με τον εαυτό του μετά από περιστροφή $180$ μοιρών γύρω από ένα σημείο. Για επίπεδα σχήματα, αυτή είναι η ίδια ιδέα με την περιστροφική συμμετρία μέσω ημιστροφής.

Δεν έχει κάθε σχήμα με αξονική συμμετρία και κεντρική συμμετρία. Η συνθήκη είναι πιο αυστηρή, επειδή η ημιστροφή πρέπει να λειτουργεί.

Λυμένο παράδειγμα: η συμμετρία ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου

Πάρε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο που δεν είναι τετράγωνο. Είναι καλύτερο παράδειγμα από το τετράγωνο, επειδή έχει κάποιες συμμετρίες, αλλά όχι όλες τις δυνατές.

Πρώτον, έχει αξονική συμμετρία. Η κατακόρυφη ευθεία που περνά από το κέντρο και η οριζόντια ευθεία που περνά από το κέντρο το χωρίζουν και οι δύο σε ίσα μέρη, άρα έχει $2$ άξονες συμμετρίας.

Δεύτερον, έχει περιστροφική συμμετρία. Μια περιστροφή $180$ μοιρών απεικονίζει το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο πάνω στον εαυτό του, αλλά μια περιστροφή $90$ μοιρών δεν το κάνει, εκτός αν το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο είναι στην πραγματικότητα τετράγωνο. Άρα ένα μη τετράγωνο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει περιστροφική συμμετρία τάξης $2$.

Τρίτον, έχει κεντρική συμμετρία. Αφού η περιστροφή $180$ μοιρών λειτουργεί, το κέντρο του ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι κέντρο συμμετρίας.

Αυτό το ένα παράδειγμα ξεχωρίζει καθαρά τις έννοιες:

• Η αξονική συμμετρία ρωτά: "Λειτουργεί μια ανάκλαση;"
• Η περιστροφική συμμετρία ρωτά: "Λειτουργεί μια περιστροφή;"
• Η κεντρική συμμετρία ρωτά: "Λειτουργεί μια ημιστροφή;"

Αυτό δείχνει επίσης γιατί οι όροι δεν πρέπει να συγχέονται. Ένα σχήμα μπορεί να έχει αξονική συμμετρία και κεντρική συμμετρία, αλλά να μην έχει περιστροφική συμμετρία τάξης $4$.

Συνηθισμένα λάθη στην αναγνώριση της συμμετρίας

Ένα συνηθισμένο λάθος είναι να θεωρείται ένα σχήμα συμμετρικό επειδή φαίνεται ισορροπημένο με το μάτι. Η συμμετρία απαιτεί ακριβή ταύτιση, όχι μια πρόχειρη οπτική εντύπωση.

Ένα άλλο λάθος είναι η σύγχυση ανάμεσα στη γωνία περιστροφής και στην τάξη περιστροφικής συμμετρίας. Αν η μικρότερη περιστροφή που λειτουργεί είναι $180$ μοίρες, τότε η περιστροφική συμμετρία είναι τάξης $2$ και όχι τάξης $180$.

Ένα τρίτο λάθος είναι η υπόθεση ότι η αξονική συμμετρία δίνει αυτόματα και κεντρική συμμετρία. Ένα ισοσκελές τρίγωνο έχει αξονική συμμετρία, αλλά μια περιστροφή $180$ μοιρών δεν το απεικονίζει πάνω στον εαυτό του.

Πού χρησιμοποιείται η συμμετρία

Η συμμετρία εμφανίζεται σε όλη τη γεωμετρία, επειδή βοηθά στην ταξινόμηση σχημάτων και στην απλούστευση της σκέψης. Αν ένα σχήμα είναι συμμετρικό, τότε ένα μέρος του συχνά σου δίνει χρήσιμες πληροφορίες για κάποιο άλλο μέρος.

Έχει επίσης σημασία στον σχεδιασμό, στην αρχιτεκτονική, στη φυσική, στη χημεία και στην τέχνη. Μοτίβα, λογότυπα, κρύσταλλοι και πολλές φυσικές μορφές περιγράφονται πιο εύκολα όταν ξέρεις ποιες ανακλάσεις ή περιστροφές τα αφήνουν αμετάβλητα.

Δοκίμασε ένα παρόμοιο πρόβλημα

Έλεγξε ένα ισόπλευρο τρίγωνο και ένα κανονικό εξάγωνο με τις ίδιες τρεις ερωτήσεις: λειτουργεί μια ανάκλαση, λειτουργεί κάποια περιστροφή μικρότερη από $360$ μοίρες και λειτουργεί μια περιστροφή $180$ μοιρών; Αυτός είναι ένας γρήγορος τρόπος να δεις ποια μέρη της συμμετρίας εμφανίζονται πάντα μαζί και ποια όχι.