対称性とは、図形が反射や回転のような変換のあとで自分自身と重なることです。学校で主に学ぶ種類は線対称、回転対称、点対称で、その違いは、どの動きで図形がぴったり重なるかにあります。
線対称では反射を使います。回転対称では、ある固定された点を中心とする回転を使います。点対称は、 度回転が成り立つ特別な場合です。
線対称とは、鏡映の軸が成り立つこと
図形をある直線に関して反射したとき、反射後の図形が元の図形とぴったり一致するなら、その図形は線対称です。その直線を対称の軸といいます。
二等辺三角形はわかりやすい例です。頂点から底辺の中点へ引いた直線が、1本の対称の軸になります。
回転対称とは、回転が成り立つこと
図形を より大きく 度未満のある角度だけ回転させても見た目が変わらないなら、その図形は回転対称です。回転は、ふつう中心となる固定された点のまわりで行います。
これは回転対称の次数で表すことがよくあります。1回転の中で、出発位置を1回として数えて、重なる位置が 個あるとき、その図形は 次の回転対称をもつといいます。
点対称とは、半回転が成り立つこと
図形をある点を中心に 度回転させたときに自分自身と重なるなら、その図形は点対称です。平面図形では、これは半回転による回転対称と同じ考え方です。
線対称がある図形すべてに点対称があるわけではありません。半回転が実際に成り立たなければならないので、条件はより厳しくなります。
例題：長方形の対称性
正方形ではない長方形を考えます。正方形よりも、対称性の考え方を確かめるのに向いています。いくつかの対称性はありますが、考えられるすべての対称性をもつわけではないからです。
まず、線対称があります。中心を通る縦の直線と横の直線は、どちらも長方形を一致する2つの部分に分けるので、対称の軸は 本あります。
次に、回転対称があります。 度回転では長方形は自分自身に重なりますが、 度回転では重なりません。ただし、その長方形が実は正方形である場合は別です。したがって、正方形でない長方形は 次の回転対称をもちます。
さらに、点対称もあります。 度回転が成り立つので、長方形の中心は対称の中心です。
この1つの例で、3つの考え方の違いがはっきりします。
- 線対称は「反射が成り立つか」を問います。
- 回転対称は「回転が成り立つか」を問います。
- 点対称は「半回転が成り立つか」を問います。
このことから、これらの用語を混同してはいけない理由もわかります。図形は線対称と点対称をもっていても、 次の回転対称はもたないことがあります。
対称性を見分けるときのよくある間違い
よくある間違いの1つは、見た目で釣り合っているから対称だと判断してしまうことです。対称性には正確な一致が必要で、だいたいそう見えるだけでは不十分です。
もう1つの間違いは、回転角と回転対称の次数を混同することです。最小の回転角が 度なら、回転対称の次数は ではなく です。
3つ目の間違いは、線対称があれば自動的に点対称もあると思い込むことです。二等辺三角形には線対称がありますが、 度回転しても自分自身には重なりません。
対称性はどこで使われるか
対称性は、図形を分類したり考え方を簡単にしたりするのに役立つため、幾何のさまざまな場面で現れます。図形が対称なら、ある部分についてわかることから別の部分について有用な情報が得られることがよくあります。
また、デザイン、建築、物理、化学、美術でも重要です。模様、ロゴ、結晶、そして多くの自然の形は、どの反射や回転で変わらないかがわかると、ずっと説明しやすくなります。
似た問題に挑戦してみよう
正三角形と正六角形について、同じ3つの問いで確かめてみましょう。反射は成り立つか、 度未満のある回転は成り立つか、そして 度回転は成り立つか、という問いです。そうすると、対称性のどの性質がいつも一緒に現れ、どれがそうでないかを手早く見分けられます。