대칭이란 반사나 회전 같은 변환을 한 뒤에도 도형이 자기 자신과 일치하는 것을 말합니다. 학교 수학에서 주로 배우는 대칭의 종류는 선대칭, 회전대칭, 점대칭이며, 차이는 어떤 움직임이 도형을 정확히 자기 자신과 겹치게 하느냐에 있습니다.
선대칭은 반사를 사용합니다. 회전대칭은 한 점을 중심으로 도형을 돌리는 것입니다. 점대칭은 도 회전이 되는 특별한 경우입니다.
선대칭은 대칭축이 있을 때입니다
도형을 어떤 직선에 대해 반사했을 때 반사된 도형이 원래 도형과 정확히 일치하면, 그 도형은 선대칭을 가집니다. 이 직선을 대칭축이라고 합니다.
이등변삼각형은 간단한 예입니다. 꼭짓점에서 밑변의 중점까지 그은 직선 하나가 대칭축입니다.
회전대칭은 돌렸을 때 성립합니다
도형을 도보다 크고 도보다 작은 어떤 각도로 돌렸을 때도 모양이 바뀌지 않으면, 그 도형은 회전대칭을 가집니다. 이 회전은 보통 중심 같은 고정된 한 점을 기준으로 합니다.
사람들은 이를 회전대칭의 차수로 설명하기도 합니다. 한 바퀴 도는 동안 시작 위치를 한 번 포함해 모두 번 겹치면, 그 도형은 차수 의 회전대칭을 가진다고 합니다.
점대칭은 반바퀴 회전이 될 때입니다
도형을 어떤 점을 중심으로 도 회전했을 때 자기 자신과 일치하면, 그 도형은 점대칭을 가집니다. 평면도형에서는 이것이 반바퀴 회전에 대한 회전대칭과 같은 뜻입니다.
선대칭이 있는 모든 도형이 점대칭을 가지는 것은 아닙니다. 점대칭은 반드시 도 회전이 되어야 하므로 조건이 더 엄격합니다.
예제로 보기: 직사각형의 대칭
정사각형이 아닌 직사각형을 생각해 봅시다. 이 도형은 몇 가지 대칭은 가지지만 가능한 모든 대칭을 다 가지지는 않아서 좋은 예가 됩니다.
먼저, 이 도형은 선대칭을 가집니다. 중심을 지나는 세로선과 중심을 지나는 가로선이 모두 직사각형을 서로 같은 두 부분으로 나누므로, 대칭축은 개입니다.
다음으로, 이 도형은 회전대칭도 가집니다. 도 회전하면 자기 자신과 겹치지만, 도 회전은 직사각형이 실제로 정사각형인 경우가 아니면 성립하지 않습니다. 따라서 정사각형이 아닌 직사각형의 회전대칭 차수는 입니다.
마지막으로, 이 도형은 점대칭도 가집니다. 도 회전이 가능하므로 직사각형의 중심은 대칭의 중심점이 됩니다.
이 한 가지 예만으로도 개념 차이가 분명해집니다.
- 선대칭은 "반사가 되는가?"를 묻습니다.
- 회전대칭은 "회전이 되는가?"를 묻습니다.
- 점대칭은 "반바퀴 회전이 되는가?"를 묻습니다.
이것은 왜 이 용어들을 서로 섞어 쓰면 안 되는지도 보여 줍니다. 어떤 도형은 선대칭과 점대칭은 가질 수 있지만, 차수 의 회전대칭은 가지지 않을 수 있습니다.
대칭을 판별할 때 자주 하는 실수
흔한 실수 중 하나는 눈으로 보기엔 균형 있어 보여서 대칭이라고 생각하는 것입니다. 대칭은 대충 비슷해 보이는 것이 아니라 정확히 일치해야 합니다.
또 다른 실수는 회전각과 회전대칭의 차수를 혼동하는 것입니다. 가장 작은 회전각이 도라면 회전대칭의 차수는 이 아니라 입니다.
세 번째 실수는 선대칭이 있으면 자동으로 점대칭도 있다고 생각하는 것입니다. 이등변삼각형은 선대칭은 있지만, 도 회전해도 자기 자신과 겹치지 않습니다.
대칭은 어디에 쓰일까요?
대칭은 도형을 분류하고 성질을 더 간단히 파악하는 데 도움이 되기 때문에 기하 전반에서 중요합니다. 어떤 도형이 대칭이면 한 부분의 정보로 다른 부분에 대한 유용한 사실을 알 수 있는 경우가 많습니다.
또한 대칭은 디자인, 건축, 물리학, 화학, 미술에서도 중요합니다. 무늬, 로고, 결정, 그리고 자연 속 많은 형태는 어떤 반사나 회전에서 변하지 않는지를 알면 훨씬 쉽게 설명할 수 있습니다.
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정삼각형과 정육각형에 대해 같은 세 가지 질문을 해 보세요. 반사가 되는가, 도보다 작은 어떤 회전이 되는가, 그리고 도 회전이 되는가? 이렇게 하면 어떤 대칭 성질은 항상 함께 나타나고 어떤 것은 그렇지 않은지 빠르게 확인할 수 있습니다.