几何变换——平移、旋转、反射与伸缩

几何中的变换，是把图形上的每一个点对应到一个新点的规则。学生最先接触的四种主要变换是平移、旋转、反射和伸缩。

快速区分它们的方法是：平移是滑动，旋转是转动，反射是翻折，伸缩是改变大小。平移、旋转和反射会保持大小和形状不变。伸缩保持形状不变，但除非伸缩因子是 $1$，否则大小会改变。

每种变换分别做了什么

平移把每个点沿同一方向移动相同的距离。图形不会转动，也不会翻折。

旋转让图形绕一个固定点转动，这个固定点叫作旋转中心。旋转角度和旋转方向都很重要。

反射把图形沿一条直线翻折，这条直线叫作对称轴。对应点会落在这条直线另一侧，并且到直线的垂直距离相等。

伸缩以一个固定中心为基准，按伸缩因子把图形放大或缩小。如果 $k > 1$，像会变大。如果 $0 < k < 1$，像会变小。

可以放心使用的坐标规则

这些快捷规则只在给定条件下成立。如果中心或对称轴改变了，坐标规则也会随之改变。

对于按 $(a, b)$ 进行的平移，

$$(x, y) \to (x + a, y + b)$$

对于绕原点旋转：

$$90^\circ \text{ counterclockwise}: (x, y) \to (-y, x)$$ $$180^\circ: (x, y) \to (-x, -y)$$ $$90^\circ \text{ clockwise}: (x, y) \to (y, -x)$$

对于反射：

$$\text{across the } x\text{-axis}: (x, y) \to (x, -y)$$ $$\text{across the } y\text{-axis}: (x, y) \to (-x, y)$$ $$\text{across the line } y = x: (x, y) \to (y, x)$$

对于以原点为中心、伸缩因子为 $k$ 的伸缩，

$$(x, y) \to (kx, ky)$$

一个完整例子：同一个点经过四种变换

使用点 $P(2, 1)$，这样你就能清楚看到每次到底改变了什么。

如果把它平移 $(3, -2)$，就把这两个数分别加到坐标上：

$$(2, 1) \to (2 + 3, 1 - 2) = (5, -1)$$

如果把它绕原点逆时针旋转 $90^\circ$，使用 $(x, y) \to (-y, x)$：

$$(2, 1) \to (-1, 2)$$

如果把它关于 $y$ 轴反射，就改变 $x$ 坐标的符号：

$$(2, 1) \to (-2, 1)$$

如果把它以原点为中心、按伸缩因子 $2$ 进行伸缩，就把两个坐标都乘以 $2$：

$$(2, 1) \to (4, 2)$$

这一个例子就能快速看出主要区别：

• 平移改变位置
• 旋转改变图形绕中心的朝向
• 反射使图形沿一条直线翻折
• 伸缩按伸缩因子改变大小

多边形也是同样的做法。把每个顶点分别变换后，再按原来的顺序连接成像。

最快的直觉方法：看什么保持不变

当你去判断一种变换时，先问“什么是固定不变的”，会更容易识别。

在平移中，固定的是方向和距离。在旋转中，固定的是中心。在反射中，固定的是镜像直线。在伸缩中，固定的是中心和伸缩因子。

这比单纯死记规则更可靠。只要你知道固定参照是什么，即使忘了快捷公式，通常也能重新推导出正确过程。

变换中的常见错误

忘记规则成立的条件

快捷规则 $(x, y) \to (-y, x)$ 只适用于绕原点逆时针旋转 $90^\circ$。如果中心改变了，就需要用不同的方法。

混淆顺时针和逆时针

这是坐标几何中最常见的错误之一。如果题目没有清楚说明方向，先停下来确认方向，再进行点的变换。

误以为伸缩保持长度不变

伸缩保持的是形状，不是实际大小。边长会乘上伸缩因子，所以像与原图形是相似，而通常不是全等。

关于错误的直线做反射

关于 $x$ 轴、$y$ 轴以及直线 $y = x$ 的反射，结果都不同。坐标看起来可能相似，但这些规则不能互换使用。

变换的应用场景

变换会出现在坐标几何、对称问题、图像绘制、计算机图形学、地图比例缩放和基础建模中。只要你需要描述一个图形如何移动、转动、翻折或改变大小，而不想从头重新定义每个点，变换就很有用。

试一道类似的问题

你可以自己试一题：设三角形的三个顶点为 $A(0, 1)$、$B(3, 1)$ 和 $C(1, 4)$。先把它平移 $(2, -1)$，再关于 $y$ 轴反射，并判断哪一种变换会保持边长不变。如果你想继续练习，还可以再做一个绕原点旋转的类似问题，并比较新的坐标。