中点公式——求线段的中点

中点公式用来求坐标平面上两点之间正中间的点。如果两个端点是 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$，那么中点是

$$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$$

先对两个 $x$ 坐标取平均，再对两个 $y$ 坐标取平均。当题目要求求一条线段正中间的点时，就可以使用这个公式。

为什么中点公式成立

在数轴上，$2$ 和 $8$ 正中间的数是 $\frac{2 + 8}{2} = 5$。中点公式对每个坐标都使用了同样的思路。

首先，它通过对 $x_1$ 和 $x_2$ 取平均来找到水平方向的中间位置。然后，它通过对 $y_1$ 和 $y_2$ 取平均来找到竖直方向的中间位置。把这两个中间值组合起来，就得到位于两个端点正中央的点。

这在坐标平面中成立，因为“正好一半”必须在两个方向上同时成立。

中点公式例题

求端点为 $(-4, 6)$ 和 $(10, -2)$ 的线段的中点。

先写出中点公式：

$$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$$

代入坐标：

$$M = \left(\frac{-4 + 10}{2}, \frac{6 + (-2)}{2}\right)$$

分别化简每个坐标：

$$M = \left(\frac{6}{2}, \frac{4}{2}\right) = (3, 2)$$

所以中点是 $(3, 2)$。可以快速检查一下：$3$ 在 $-4$ 和 $10$ 的正中间，$2$ 在 $6$ 和 $-2$ 的正中间。

中点公式的常见错误

一个常见错误是把坐标相加后却没有除以 $2$。中点求的是平均值，不是和。

另一个错误是把不同坐标轴上的坐标混在一起计算。你应该把两个 $x$ 值放在一起求平均，把两个 $y$ 值放在一起求平均。不要把 $x$ 坐标和 $y$ 坐标混合计算。

符号错误也很常见。如果某个坐标是负数，代入时要保留符号。例如，$6 + (-2)$ 等于 $4$，不是 $8$。

什么时候使用中点公式

当题目要求求坐标平面上线段的中心点时，中点公式就很有用。你会在坐标几何中见到它，也会在关于角平分线或线段平分的证明、矩形或平行四边形对角线的问题，以及判断一个点是否恰好位于另外两点正中间的问题中见到它。

它也和距离公式有自然联系。中点公式告诉你中心在哪里，而距离公式告诉你线段有多长。

分数中点同样是正确的

这个公式适用于坐标平面中的任意两点。中点不一定非要是整数坐标。如果取平均后得到分数或小数，这仍然是正确答案。

例如，$(1, 2)$ 和 $(4, 7)$ 的中点是

$$\left(\frac{1 + 4}{2}, \frac{2 + 7}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}, \frac{9}{2}\right)$$

即使这两个坐标都不是整数，这个中点仍然是有效的。

试着做一道类似的中点题

试着求 $(5, -3)$ 和 $(-1, 9)$ 的中点。如果你想进一步练习，可以先用公式算出来，再在图上检查你的答案是否看起来位于正中央。