中点の公式 - 線分の中点の求め方

中点の公式は、座標平面上の2点のちょうど真ん中にある点を求める公式です。端点が $(x_1, y_1)$ と $(x_2, y_2)$ のとき、中点は

$$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$$

となります。まず2つの $x$ 座標を平均し、次に2つの $y$ 座標を平均します。線分のちょうど真ん中の点を求める問題で使います。

中点の公式が成り立つ理由

数直線では、$2$ と $8$ のちょうど真ん中の数は $\frac{2 + 8}{2} = 5$ です。中点の公式は、この考え方をそれぞれの座標に対して使っています。

まず、$x_1$ と $x_2$ を平均して水平方向の中間の位置を求めます。次に、$y_1$ と $y_2$ を平均して垂直方向の中間の位置を求めます。この2つの中間の値を組み合わせると、端点のちょうど中央にある点が得られます。

これが座標平面で成り立つのは、「半分の位置」であることが横方向と縦方向の両方で同時に成り立つ必要があるからです。

中点の公式の例

端点が $(-4, 6)$ と $(10, -2)$ の線分の中点を求めます。

まず、中点の公式を書きます。

$$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$$

座標を代入します。

$$M = \left(\frac{-4 + 10}{2}, \frac{6 + (-2)}{2}\right)$$

それぞれの座標を簡単にします。

$$M = \left(\frac{6}{2}, \frac{4}{2}\right) = (3, 2)$$

したがって、中点は $(3, 2)$ です。簡単に確認すると、$3$ は $-4$ と $10$ のちょうど真ん中で、$2$ は $6$ と $-2$ のちょうど真ん中です。

中点の公式でよくある間違い

よくある間違いの1つは、座標を足したあとに $2$ で割らないことです。中点は和ではなく平均です。

もう1つの間違いは、異なる軸の座標を混ぜてしまうことです。2つの $x$ の値同士を平均し、2つの $y$ の値同士を平均しなければなりません。$x$ 座標と $y$ 座標を組み合わせてはいけません。

符号のミスもよくあります。1つの座標が負の数なら、代入するときにその符号を正しく残します。たとえば、$6 + (-2)$ は $4$ であり、$8$ ではありません。

中点の公式を使う場面

中点の公式は、座標平面上で線分の中心を求める問題に役立ちます。座標幾何、二等分線に関する証明、長方形や平行四辺形の対角線に関する問題、ある点がほかの2点のちょうど中間にあるかを確かめる問題などでよく使われます。

また、距離の公式とも自然につながっています。中点の公式は中心の位置を教え、距離の公式は線分の長さを教えます。

分数の中点でも正しい

この公式は、座標平面上のどんな2点に対しても使えます。中点の座標が整数である必要はありません。平均した結果が分数や小数になっても、それは正しい答えです。

たとえば、$(1, 2)$ と $(4, 7)$ の中点は

$$\left(\frac{1 + 4}{2}, \frac{2 + 7}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}, \frac{9}{2}\right)$$

です。どちらの座標も整数ではありませんが、この中点は正しいです。

似た中点の問題に挑戦してみよう

$(5, -3)$ と $(-1, 9)$ の中点を求めてみましょう。次の練習としては、まず公式を使って解き、そのあとグラフにして答えが中央に見えるかを確かめるのがおすすめです。