Fórmula do ponto médio - Encontre o ponto médio de um segmento de reta

A fórmula do ponto médio encontra o ponto que fica exatamente no meio entre dois pontos no plano cartesiano. Se as extremidades são $(x_1, y_1)$ e $(x_2, y_2)$, o ponto médio é

$$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$$

Tire a média das duas coordenadas $x$ e depois a média das duas coordenadas $y$. Use isso quando um problema pedir o ponto exatamente no meio de um segmento de reta.

Por que a fórmula do ponto médio funciona

Em uma reta numérica, o número que fica no meio entre $2$ e $8$ é $\frac{2 + 8}{2} = 5$. A fórmula do ponto médio usa essa mesma ideia para cada coordenada.

Primeiro, ela encontra o ponto médio horizontal tirando a média de $x_1$ e $x_2$. Depois, encontra o ponto médio vertical tirando a média de $y_1$ e $y_2$. Juntando esses dois valores intermediários, você obtém o ponto central entre as extremidades.

Isso funciona no plano cartesiano porque estar no meio precisa ser verdadeiro nas duas direções ao mesmo tempo.

Exemplo da fórmula do ponto médio

Encontre o ponto médio do segmento com extremidades $(-4, 6)$ e $(10, -2)$.

Comece com a fórmula do ponto médio:

$$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$$

Substitua as coordenadas:

$$M = \left(\frac{-4 + 10}{2}, \frac{6 + (-2)}{2}\right)$$

Simplifique cada coordenada:

$$M = \left(\frac{6}{2}, \frac{4}{2}\right) = (3, 2)$$

Então, o ponto médio é $(3, 2)$. Uma verificação rápida ajuda: $3$ está no meio entre $-4$ e $10$, e $2$ está no meio entre $6$ e $-2$.

Erros comuns na fórmula do ponto médio

Um erro comum é somar as coordenadas sem dividir por $2$. O ponto médio é uma média, não uma soma.

Outro erro é misturar coordenadas de eixos diferentes. Você deve tirar a média dos dois valores de $x$ juntos e dos dois valores de $y$ juntos. Não combine uma coordenada $x$ com uma coordenada $y$.

Erros de sinal também são comuns. Se uma coordenada for negativa, mantenha o sinal ao substituir. Por exemplo, $6 + (-2)$ é $4$, e não $8$.

Quando usar a fórmula do ponto médio

A fórmula do ponto médio é útil sempre que um problema pedir o centro de um segmento no plano cartesiano. Você a vê em geometria analítica, em demonstrações sobre bissetrizes, em problemas sobre diagonais de retângulos ou paralelogramos e em questões nas quais é preciso verificar se um ponto está exatamente no meio entre outros dois.

Ela também se conecta naturalmente à fórmula da distância. O ponto médio diz onde fica o centro, enquanto a fórmula da distância diz qual é o comprimento do segmento.

Pontos médios fracionários também estão corretos

A fórmula funciona para quaisquer dois pontos no plano cartesiano. O ponto médio não precisa ter coordenadas inteiras. Se as médias resultarem em frações ou decimais, isso ainda está correto.

Por exemplo, o ponto médio de $(1, 2)$ e $(4, 7)$ é

$$\left(\frac{1 + 4}{2}, \frac{2 + 7}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}, \frac{9}{2}\right)$$

Esse ponto médio é válido, mesmo que nenhuma das coordenadas seja um número inteiro.

Tente um problema parecido de ponto médio

Tente encontrar o ponto médio de $(5, -3)$ e $(-1, 9)$. Se quiser dar um próximo passo útil, resolva primeiro com a fórmula e depois confira em um gráfico se sua resposta parece estar centralizada.