Fórmula del punto medio: encuentra el punto medio de un segmento

La fórmula del punto medio encuentra el punto que está a la mitad entre dos puntos en el plano cartesiano. Si los extremos son $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$, el punto medio es

$$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$$

Promedia las dos coordenadas $x$ y luego promedia las dos coordenadas $y$. Úsala cuando un problema pida el punto exactamente en medio de un segmento.

Por qué funciona la fórmula del punto medio

En una recta numérica, el número que está a la mitad entre $2$ y $8$ es $\frac{2 + 8}{2} = 5$. La fórmula del punto medio usa esa misma idea para cada coordenada.

Primero, encuentra el punto medio horizontal al promediar $x_1$ y $x_2$. Luego encuentra el punto medio vertical al promediar $y_1$ y $y_2$. Si juntas esos dos valores intermedios, obtienes el punto centrado entre los extremos.

Esto funciona en el plano cartesiano porque estar a la mitad debe cumplirse en ambas direcciones al mismo tiempo.

Ejemplo de la fórmula del punto medio

Encuentra el punto medio del segmento con extremos $(-4, 6)$ y $(10, -2)$.

Empieza con la fórmula del punto medio:

$$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$$

Sustituye las coordenadas:

$$M = \left(\frac{-4 + 10}{2}, \frac{6 + (-2)}{2}\right)$$

Simplifica cada coordenada:

$$M = \left(\frac{6}{2}, \frac{4}{2}\right) = (3, 2)$$

Así que el punto medio es $(3, 2)$. Una comprobación rápida ayuda: $3$ está a la mitad entre $-4$ y $10$, y $2$ está a la mitad entre $6$ y $-2$.

Errores comunes con la fórmula del punto medio

Un error común es sumar las coordenadas sin dividir entre $2$. El punto medio es un promedio, no una suma.

Otro error es mezclar coordenadas de ejes distintos. Debes promediar juntas las dos coordenadas $x$ y juntas las dos coordenadas $y$. No combines una coordenada $x$ con una coordenada $y$.

Los errores de signo también son comunes. Si una coordenada es negativa, conserva el signo al sustituir. Por ejemplo, $6 + (-2)$ es $4$, no $8$.

Cuándo usar la fórmula del punto medio

La fórmula del punto medio es útil siempre que un problema pida el centro de un segmento en el plano cartesiano. La verás en geometría analítica, en demostraciones sobre bisectrices, en problemas sobre diagonales de rectángulos o paralelogramos, y en preguntas donde necesitas comprobar si un punto está exactamente a la mitad entre otros dos.

También se relaciona de forma natural con la fórmula de la distancia. El punto medio te dice dónde está el centro, mientras que la fórmula de la distancia te dice cuánto mide el segmento.

Los puntos medios con fracciones también son correctos

La fórmula funciona para cualquier par de puntos en el plano cartesiano. El punto medio no tiene que tener coordenadas enteras. Si los promedios dan fracciones o decimales, sigue siendo correcto.

Por ejemplo, el punto medio de $(1, 2)$ y $(4, 7)$ es

$$\left(\frac{1 + 4}{2}, \frac{2 + 7}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}, \frac{9}{2}\right)$$

Ese punto medio es válido aunque ninguna de las coordenadas sea un número entero.

Intenta un problema similar del punto medio

Intenta encontrar el punto medio de $(5, -3)$ y $(-1, 9)$. Si quieres un siguiente paso útil, resuélvelo primero con la fórmula y luego comprueba en una gráfica si tu respuesta parece estar centrada.