Formule du milieu - Trouver le milieu d’un segment

La formule du milieu permet de trouver le point situé à mi-chemin entre deux points dans un repère. Si les extrémités sont $(x_1, y_1)$ et $(x_2, y_2)$, alors le milieu est

$$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$$

On calcule la moyenne des deux coordonnées en $x$, puis la moyenne des deux coordonnées en $y$. Utilisez cette formule lorsqu’un exercice demande le point exactement au milieu d’un segment.

Pourquoi la formule du milieu fonctionne

Sur une droite graduée, le nombre situé à mi-chemin entre $2$ et $8$ est $\frac{2 + 8}{2} = 5$. La formule du milieu applique cette même idée à chaque coordonnée.

D’abord, elle trouve la position horizontale à mi-chemin en faisant la moyenne de $x_1$ et $x_2$. Ensuite, elle trouve la position verticale à mi-chemin en faisant la moyenne de $y_1$ et $y_2$. En réunissant ces deux valeurs intermédiaires, on obtient le point centré entre les extrémités.

Cela fonctionne dans le plan cartésien parce qu’être à mi-chemin doit être vrai dans les deux directions en même temps.

Exemple avec la formule du milieu

Trouvez le milieu du segment dont les extrémités sont $(-4, 6)$ et $(10, -2)$.

Commencez par la formule du milieu :

$$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$$

Remplacez par les coordonnées :

$$M = \left(\frac{-4 + 10}{2}, \frac{6 + (-2)}{2}\right)$$

Simplifiez chaque coordonnée :

$$M = \left(\frac{6}{2}, \frac{4}{2}\right) = (3, 2)$$

Donc, le milieu est $(3, 2)$. Une vérification rapide aide : $3$ est à mi-chemin entre $-4$ et $10$, et $2$ est à mi-chemin entre $6$ et $-2$.

Erreurs fréquentes avec la formule du milieu

Une erreur fréquente consiste à additionner les coordonnées sans diviser par $2$. Le milieu est une moyenne, pas une somme.

Une autre erreur consiste à mélanger les coordonnées des deux axes. Il faut faire la moyenne des deux valeurs de $x$ ensemble et des deux valeurs de $y$ ensemble. Ne combinez pas une coordonnée en $x$ avec une coordonnée en $y$.

Les erreurs de signe sont aussi courantes. Si une coordonnée est négative, conservez le signe lors du remplacement. Par exemple, $6 + (-2)$ vaut $4$, et non $8$.

Quand utiliser la formule du milieu

La formule du milieu est utile chaque fois qu’un problème demande le centre d’un segment dans le plan cartésien. On la retrouve en géométrie analytique, dans des démonstrations sur les bissectrices, dans des problèmes sur les diagonales des rectangles ou des parallélogrammes, et dans des questions où il faut vérifier si un point se trouve exactement à mi-chemin entre deux autres.

Elle est aussi liée naturellement à la formule de distance. Le milieu indique où se trouve le centre, tandis que la formule de distance indique la longueur du segment.

Les milieux fractionnaires sont aussi corrects

La formule fonctionne pour n’importe quels deux points du plan cartésien. Le milieu n’a pas besoin d’avoir des coordonnées entières. Si les moyennes donnent des fractions ou des nombres décimaux, c’est tout à fait correct.

Par exemple, le milieu de $(1, 2)$ et $(4, 7)$ est

$$\left(\frac{1 + 4}{2}, \frac{2 + 7}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}, \frac{9}{2}\right)$$

Ce milieu est valide même si aucune des deux coordonnées n’est un nombre entier.

Essayez un problème similaire sur le milieu

Essayez de trouver le milieu de $(5, -3)$ et $(-1, 9)$. Si vous voulez aller un peu plus loin, résolvez-le d’abord avec la formule, puis vérifiez sur un graphique si votre réponse semble bien centrée.