중점 공식 - 선분의 중점 구하는 법

중점 공식은 좌표평면에서 두 점의 정확히 중간에 있는 점을 구하는 공식입니다. 끝점이 $(x_1, y_1)$와 $(x_2, y_2)$일 때, 중점은

$$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$$

입니다.

두 $x$좌표의 평균을 구한 다음, 두 $y$좌표의 평균을 구하면 됩니다. 문제에서 선분의 정확한 가운데 점을 구하라고 할 때 이 공식을 사용합니다.

중점 공식이 성립하는 이유

수직선에서 $2$와 $8$의 정확한 중간 수는 $\frac{2 + 8}{2} = 5$입니다. 중점 공식은 이와 같은 생각을 각 좌표에 그대로 적용한 것입니다.

먼저 $x_1$과 $x_2$의 평균을 구해 가로 방향의 중간점을 찾습니다. 그다음 $y_1$과 $y_2$의 평균을 구해 세로 방향의 중간점을 찾습니다. 이렇게 구한 두 중간값을 합치면 끝점들 사이의 중심에 있는 점이 됩니다.

좌표평면에서 중간에 있다는 것은 가로와 세로 두 방향 모두에서 동시에 절반 지점이어야 하므로, 이 방법이 성립합니다.

중점 공식 예제

끝점이 $(-4, 6)$와 $(10, -2)$인 선분의 중점을 구해 봅시다.

중점 공식을 쓰면

$$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$$

좌표를 대입하면

$$M = \left(\frac{-4 + 10}{2}, \frac{6 + (-2)}{2}\right)$$

각 좌표를 간단히 하면

$$M = \left(\frac{6}{2}, \frac{4}{2}\right) = (3, 2)$$

따라서 중점은 $(3, 2)$입니다. 빠르게 확인해 보면, $3$은 $-4$와 $10$의 정확한 중간이고, $2$는 $6$과 $-2$의 정확한 중간입니다.

중점 공식에서 자주 하는 실수

흔한 실수 중 하나는 좌표를 더해 놓고 $2$로 나누지 않는 것입니다. 중점은 합이 아니라 평균입니다.

또 다른 실수는 서로 다른 축의 좌표를 섞는 것입니다. 두 $x$값끼리 평균을 내고, 두 $y$값끼리 평균을 내야 합니다. $x$좌표와 $y$좌표를 서로 섞어 계산하면 안 됩니다.

부호 실수도 자주 나옵니다. 한 좌표가 음수라면 대입할 때 그 부호를 그대로 유지해야 합니다. 예를 들어 $6 + (-2)$는 $8$이 아니라 $4$입니다.

중점 공식을 사용하는 경우

중점 공식은 좌표평면에서 선분의 중심을 구하라는 문제가 나올 때 유용합니다. 좌표기하, 이등분선에 관한 증명, 직사각형이나 평행사변형의 대각선 문제, 그리고 어떤 점이 다른 두 점의 정확한 중간에 있는지 확인하는 문제에서 자주 볼 수 있습니다.

이 공식은 거리 공식과도 자연스럽게 연결됩니다. 중점 공식은 중심이 어디인지 알려 주고, 거리 공식은 선분의 길이가 얼마인지 알려 줍니다.

분수로 나오는 중점도 맞습니다

이 공식은 좌표평면의 어떤 두 점에도 적용할 수 있습니다. 중점의 좌표가 반드시 정수일 필요는 없습니다. 평균을 냈을 때 분수나 소수가 나오더라도 그것은 올바른 답입니다.

예를 들어 $(1, 2)$와 $(4, 7)$의 중점은

$$\left(\frac{1 + 4}{2}, \frac{2 + 7}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}, \frac{9}{2}\right)$$

입니다.

두 좌표가 모두 정수가 아니어도 이 중점은 유효합니다.

비슷한 중점 문제를 풀어 보세요

$(5, -3)$와 $(-1, 9)$의 중점을 직접 구해 보세요. 한 단계 더 연습하고 싶다면 먼저 공식으로 답을 구한 뒤, 그래프에 표시해서 정말 가운데에 있는지 확인해 보세요.