矩阵的逆矩阵

逆矩阵是能够“抵消”另一个矩阵作用的矩阵。对于方阵 $A$，它的逆矩阵记作 $A^{-1}$，并满足

$$AA^{-1} = A^{-1}A = I$$

其中 $I$ 是单位矩阵。通俗地说，乘以 $A^{-1}$ 会抵消乘以 $A$ 的效果。

并不是每个矩阵都有逆矩阵。矩阵必须是方阵，而对于方阵，关键判定条件是 $\det(A) \ne 0$。

逆矩阵有什么作用

可以把矩阵乘法看成一种变换。如果 $A$ 会拉伸、旋转或混合坐标，那么 $A^{-1}$ 就会把这个变换反过来，让你回到起点。

这就是为什么定义里会出现单位矩阵。单位矩阵不会改变向量，所以得到 $I$ 就表示这两个矩阵恰好互相抵消。

什么时候矩阵有逆

有两个条件很重要：

1. 矩阵必须是方阵。
2. 它的行列式不能为零。

对于一个 $2 \times 2$ 矩阵，这个行列式是 $ad-bc$。如果 $ad-bc=0$，这个矩阵就没有逆矩阵。

2x2 矩阵求逆公式

对于一个 $2 \times 2$ 矩阵

$$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},$$

只有在满足

$$ad - bc \ne 0$$

时，逆矩阵才存在。

如果这个条件成立，那么逆矩阵为

$$A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$$

这个公式只适用于 $2 \times 2$ 矩阵。更大的矩阵需要用其他方法，比如行化简。

2x2 逆矩阵例题

求下面矩阵的逆矩阵：

$$A = \begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{bmatrix}$$

第一步：检查逆矩阵是否存在

计算行列式：

$$\det(A) = 4 \cdot 6 - 7 \cdot 2 = 24 - 14 = 10$$

因为 $10 \ne 0$，所以这个矩阵可逆。

第二步：应用 2x2 公式

交换主对角线上的元素，改变副对角线元素的符号，再除以行列式：

$$A^{-1} = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{bmatrix}$$

第三步：乘回去检验

$$\begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{bmatrix} \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{bmatrix} = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 24 - 14 & -28 + 28 \\ 12 - 12 & -14 + 24 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

这一步检验很重要。只有乘积得到单位矩阵，所求的逆矩阵才是正确的。

求逆矩阵时的常见错误

1. 试图把每个元素分别取倒数。一般来说，矩阵的逆不是把各个元素取倒数得到的。
2. 忘记先检查是否存在逆矩阵。如果 $\det(A) = 0$，矩阵就没有逆矩阵。
3. 搞混 $2 \times 2$ 公式中的符号变化。副对角线元素要变号，主对角线元素要交换位置。
4. 跳过乘法检验。如果乘积不是 $I$，那么逆矩阵就是错的。

逆矩阵有哪些用途

当你想把一个线性过程反过来时，就会用到逆矩阵。在初等线性代数中，这通常表示把方程组 $Ax=b$ 写成

$$x = A^{-1}b$$

前提是 $A$ 可逆。同样的思想也会出现在坐标变换、线性变换，以及一些数据和工程模型中。

在实际中，人们常常用行化简或数值方法来解方程组，而不是手算完整的逆矩阵。即便如此，逆矩阵仍然是一个很有用的概念，因为它说明了系统什么时候有唯一解，以及“撤销”一个变换到底是什么意思。

如何快速检查答案

逆矩阵应该能抵消原矩阵的作用，而不只是看起来像对的。最快的检查方法就是把原矩阵和你求出的结果相乘。如果得不到单位矩阵，那么这个逆矩阵就不正确。

自己试一试

试着求下面这个矩阵的逆矩阵：

$$\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{bmatrix}$$

先检查行列式。然后求出逆矩阵，再乘回去看看是否得到 $I$。如果你手算完后想快速核对一下，可以把自己的结果放进求解器里比较，但要比较乘积，而不只是最后的元素。