复数——运算、极坐标形式与例题

复数是形如 $a+bi$ 的数，其中 $a$ 和 $b$ 是实数，且 $i^2=-1$。复数之所以重要，是因为它能让你求解像 $x^2+1=0$ 这样的方程，也能用一种简洁的方式同时表示大小和方向。

如果你只想快速抓住重点：标准形式 $a+bi$ 最适合做加法和减法，而极坐标形式通常更适合对非零复数进行乘法、除法和乘方。

什么是复数？

在 $z=a+bi$ 中，$a$ 叫作实部，$b$ 叫作虚部。如果 $b=0$，那么 $z$ 就只是一个实数。如果 $a=0$ 且 $b \ne 0$，这个数叫作纯虚数。

把 $a+bi$ 看成复平面上的点 $(a,b)$ 会很有帮助。实部决定水平方向的位置，虚部决定竖直方向的位置。

有些方程没有实数解，但有复数解。例如，

$$x^2+1=0$$

在实数范围内没有解，但在复数范围内，它的解是 $x=\pm i$。

复数如何进行加、减、乘、除

加法和减法是分别按对应部分计算的。实部与实部相加减，虚部与虚部相加减：

$$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$$ $$(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$$

乘法要用分配律，并利用 $i^2=-1$ 这一事实：

$$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$$

除法通常通过乘以共轭复数来处理。$c+di$ 的共轭复数是 $c-di$。如果 $c+di \ne 0$，那么

$$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}$$

乘以共轭复数后，分母中的虚部会被消去，这就是这种方法有效的原因。

复数的极坐标形式是如何工作的

对于非零复数 $z=a+bi$，它的模为

$$|z|=\sqrt\{a^2+b^2\}$$

模表示复平面上点 $(a,b)$ 到原点的距离。

如果 $\theta$ 是一个指向与 $(a,b)$ 相同位置的角，那么

$$z=|z|(\cos\theta+i\sin\theta)$$

这就是 $z$ 的极坐标形式。角 $\theta$ 叫作 $z$ 的一个辐角。

辐角不是唯一的。如果 $\theta$ 可行，那么对于任意整数 $k$，$\theta+2\pi k$ 也可行。很多课程会按约定选取一个主辐角，所以要注意你的课程使用的是哪个角度范围。

极坐标形式之所以有用，是因为乘法有非常清晰的规律。对于非零复数，模相乘，辐角相加。

例题：用标准形式和极坐标形式做乘法

设

$$z=1+\sqrt{3}i$$

以及

$$w=\sqrt{3}+i$$

先用标准形式相乘：

$$zw=(1+\sqrt{3}i)(\sqrt{3}+i)$$ $$=\sqrt{3}+i+3i+\sqrt{3}i^2$$ $$=\sqrt{3}+4i-\sqrt{3}=4i$$

现在改用极坐标形式。

对于 $z=1+\sqrt{3}i$，它的模是

$$|z|=\sqrt\{1^2+(\sqrt\{3\})^2\}=2$$

点 $(1,\sqrt{3})$ 的辐角是 $\theta=\pi/3$。所以

$$z=2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)$$

对于 $w=\sqrt{3}+i$，它的模也是 $2$，点 $(\sqrt{3},1)$ 的辐角是 $\pi/6$。所以

$$w=2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)$$

将两个极坐标形式相乘：

$$zw=4\left(\cos\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}\right)\right)$$ $$=4\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)=4i$$

两种方法得到的答案相同。极坐标方法的重点并不在于它对小数值一定更短，而在于它能让乘法规律一目了然：长度相乘，角度相加。

复数中的常见错误

最常见的错误是忘记 $i^2=-1$。这个符号变化正是得到正确实部和虚部的关键。

另一个常见错误是在极坐标形式中选错辐角。仅有参考角还不够，你还必须判断正确的象限。

学生有时还会试图在极坐标形式下，把模和辐角分别相加来做复数加法。这是行不通的。极坐标形式主要是用来简化乘法、除法和乘方。

还有一个边界情况也很重要：零复数的模是 $0$，但它的辐角通常没有定义。所以极坐标形式主要用于非零复数。

复数有哪些应用

复数可用于求解多项式方程、描述旋转与振动，以及建立工程和物理中的系统模型。它们会出现在交流电路、信号处理、控制理论和量子力学中。

即使你最初是在代数中接触到复数，它也不只是一个形式上的技巧。它提供了一种紧凑的方式来描述同时涉及大小和角度的规律。

试着解一道类似的问题

试着把 $-1+i$ 写成极坐标形式。先求它的模，再从正确的象限选取辐角，然后将结果平方，并转回标准形式来检验你的答案。