Số phức — Phép toán, dạng cực và ví dụ

Số phức là những số có dạng $a+bi$, trong đó $a$ và $b$ là các số thực và $i^2=-1$. Chúng quan trọng vì cho phép bạn giải các phương trình như $x^2+1=0$, đồng thời cũng cung cấp một cách gọn gàng để mô tả độ lớn và hướng cùng lúc.

Nếu bạn chỉ cần ý chính thật nhanh: dạng chuẩn $a+bi$ phù hợp nhất cho phép cộng và trừ, còn dạng cực thường thuận tiện hơn khi nhân, chia và lũy thừa các số phức khác $0$.

Số Phức Là Gì?

Trong $z=a+bi$, số $a$ là phần thực và $b$ là phần ảo. Nếu $b=0$ thì $z$ chỉ là một số thực. Nếu $a=0$ và $b \ne 0$ thì số đó được gọi là số thuần ảo.

Bạn có thể hình dung $a+bi$ như điểm $(a,b)$ trên mặt phẳng phức. Phần thực cho vị trí theo phương ngang, còn phần ảo cho vị trí theo phương dọc.

Một số phương trình không có nghiệm thực nhưng lại có nghiệm phức. Ví dụ,

$$x^2+1=0$$

không có nghiệm thực, nhưng trong tập số phức thì các nghiệm là $x=\pm i$.

Cách Cộng, Trừ, Nhân Và Chia Số Phức

Phép cộng và trừ được thực hiện theo từng thành phần. Gộp phần thực với phần thực, và phần ảo với phần ảo:

$$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$$ $$(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$$

Phép nhân dùng tính phân phối và thực tế rằng $i^2=-1$:

$$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$$

Phép chia thường được xử lý bằng số phức liên hợp. Liên hợp của $c+di$ là $c-di$. Nếu $c+di \ne 0$ thì

$$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}$$

Nhân với số liên hợp sẽ khử phần ảo ở mẫu số, đó là lý do phương pháp này hoạt động.

Dạng Cực Của Số Phức Hoạt Động Như Thế Nào

Với một số phức khác $0$ là $z=a+bi$, môđun là

$$|z|=\sqrt\{a^2+b^2\}$$

Môđun là khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm $(a,b)$ trên mặt phẳng phức.

Nếu $\theta$ là một góc chỉ đến đúng vị trí của $(a,b)$, thì

$$z=|z|(\cos\theta+i\sin\theta)$$

Đây là dạng cực của $z$. Góc $\theta$ được gọi là một acgumen của $z$.

Acgumen không là duy nhất. Nếu $\theta$ đúng thì $\theta+2\pi k$ cũng đúng với mọi số nguyên $k$. Nhiều khóa học chọn một acgumen chính theo quy ước, vì vậy hãy kiểm tra xem lớp của bạn đang dùng khoảng góc nào.

Dạng cực hữu ích vì phép nhân có một quy luật rất gọn. Với các số phức khác $0$, các môđun được nhân với nhau và các acgumen được cộng với nhau.

Ví Dụ Có Lời Giải: Nhân Ở Dạng Chuẩn Và Dạng Cực

Xét

$$z=1+\sqrt{3}i$$

và

$$w=\sqrt{3}+i$$

Trước hết, nhân ở dạng chuẩn:

$$zw=(1+\sqrt{3}i)(\sqrt{3}+i)$$ $$=\sqrt{3}+i+3i+\sqrt{3}i^2$$ $$=\sqrt{3}+4i-\sqrt{3}=4i$$

Bây giờ chuyển sang dạng cực.

Với $z=1+\sqrt{3}i$, môđun là

$$|z|=\sqrt\{1^2+(\sqrt\{3\})^2\}=2$$

và điểm $(1,\sqrt{3})$ có acgumen $\theta=\pi/3$. Vậy

$$z=2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)$$

Với $w=\sqrt{3}+i$, môđun cũng bằng $2$, và điểm $(\sqrt{3},1)$ có acgumen $\pi/6$. Vậy

$$w=2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)$$

Nhân các dạng cực:

$$zw=4\left(\cos\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}\right)\right)$$ $$=4\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)=4i$$

Cả hai cách đều cho cùng một đáp án. Điểm chính của phương pháp dạng cực không phải là lúc nào cũng ngắn hơn với các số nhỏ, mà là nó giúp bạn thấy rõ quy tắc nhân: độ dài thì nhân, góc thì cộng.

Những Lỗi Thường Gặp Với Số Phức

Lỗi phổ biến nhất là quên rằng $i^2=-1$. Sự đổi dấu đó chính là điều tạo ra phần thực và phần ảo đúng trong tích.

Một lỗi thường gặp khác là chọn sai acgumen trong dạng cực. Chỉ biết góc tham chiếu là chưa đủ; bạn còn phải xác định đúng góc phần tư.

Học sinh cũng đôi khi cố cộng số phức ở dạng cực bằng cách cộng các môđun và acgumen. Cách đó không đúng. Dạng cực chủ yếu giúp đơn giản hóa phép nhân, chia và lũy thừa.

Còn một trường hợp đặc biệt nữa: số phức $0$ có môđun bằng $0$, nhưng acgumen của nó không được xác định theo cách thông thường. Vì vậy, dạng cực chủ yếu được dùng cho các số phức khác $0$.

Số Phức Được Dùng Khi Nào

Số phức được dùng để giải phương trình đa thức, mô tả phép quay và dao động, cũng như mô hình hóa các hệ trong kỹ thuật và vật lý. Chúng xuất hiện trong mạch điện xoay chiều, xử lý tín hiệu, lý thuyết điều khiển và cơ học lượng tử.

Ngay cả khi bạn gặp chúng lần đầu trong đại số, chúng không chỉ là một mẹo hình thức. Chúng cung cấp một cách ngắn gọn để mô tả các mẫu liên quan đồng thời đến độ lớn và góc.

Hãy Thử Giải Một Bài Tương Tự

Hãy thử viết $-1+i$ ở dạng cực. Tìm môđun của nó, chọn acgumen từ đúng góc phần tư, rồi bình phương kết quả và đổi lại về dạng chuẩn để kiểm tra bài làm của bạn.