복소수 — 연산, 극형식과 예제

복소수는 $a+bi$ 꼴의 수이며, 여기서 $a$와 $b$는 실수이고 $i^2=-1$입니다. 복소수는 $x^2+1=0$ 같은 방정식을 풀 수 있게 해 주고, 크기와 방향을 함께 깔끔하게 나타내는 방법도 제공합니다.

핵심만 빠르게 정리하면, 표준형 $a+bi$는 덧셈과 뺄셈에 가장 편리하고, 극형식은 0이 아닌 복소수의 곱셈, 나눗셈, 거듭제곱에서 더 유용한 경우가 많습니다.

복소수란 무엇인가?

$z=a+bi$에서 $a$는 실수부이고 $b$는 허수부입니다. $b=0$이면 $z$는 그냥 실수입니다. $a=0$이고 $b \ne 0$이면 그 수를 순허수라고 합니다.

$a+bi$를 복소평면 위의 점 $(a,b)$로 생각하면 이해하기 쉽습니다. 실수부는 가로 위치를, 허수부는 세로 위치를 나타냅니다.

어떤 방정식은 실수해는 없지만 복소수해는 있습니다. 예를 들어,

$$x^2+1=0$$

은 실수해가 없지만, 복소수 범위에서는 해가 $x=\pm i$입니다.

복소수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈

덧셈과 뺄셈은 각 성분끼리 계산합니다. 실수부끼리, 허수부끼리 각각 합치면 됩니다:

$$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$$ $$(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$$

곱셈은 분배법칙과 $i^2=-1$이라는 사실을 이용합니다:

$$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$$

나눗셈은 보통 켤레복소수를 이용해 처리합니다. $c+di$의 켤레복소수는 $c-di$입니다. $c+di \ne 0$이면

$$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}$$

분모에 켤레복소수를 곱하면 분모의 허수 부분이 없어지므로 이 방법이 성립합니다.

복소수의 극형식은 어떻게 작동할까?

0이 아닌 복소수 $z=a+bi$에 대해, 절댓값은

$$|z|=\sqrt\{a^2+b^2\}$$

입니다.

절댓값은 복소평면에서 원점과 점 $(a,b)$ 사이의 거리입니다.

$\theta$가 $(a,b)$와 같은 위치를 가리키는 각이라면,

$$z=|z|(\cos\theta+i\sin\theta)$$

가 됩니다.

이것이 $z$의 극형식입니다. 각 $\theta$를 $z$의 편각이라고 합니다.

편각은 하나로 정해지지 않습니다. $\theta$가 가능하면, 임의의 정수 $k$에 대해 $\theta+2\pi k$도 가능합니다. 많은 수업에서는 관례에 따라 주편각 하나를 정하므로, 수업에서 어떤 각의 범위를 쓰는지 확인해야 합니다.

극형식이 유용한 이유는 곱셈 규칙이 매우 깔끔하기 때문입니다. 0이 아닌 복소수끼리 곱할 때는 절댓값은 곱해지고 편각은 더해집니다.

풀이 예제: 표준형과 극형식으로 곱하기

다음을 생각해 봅시다.

$$z=1+\sqrt{3}i$$

그리고

$$w=\sqrt{3}+i$$

먼저 표준형으로 곱하면,

$$zw=(1+\sqrt{3}i)(\sqrt{3}+i)$$ $$=\sqrt{3}+i+3i+\sqrt{3}i^2$$ $$=\sqrt{3}+4i-\sqrt{3}=4i$$

이제 극형식으로 바꿔 보겠습니다.

$z=1+\sqrt{3}i$에 대해 절댓값은

$$|z|=\sqrt\{1^2+(\sqrt\{3\})^2\}=2$$

이고, 점 $(1,\sqrt{3})$의 편각은 $\theta=\pi/3$입니다. 따라서

$$z=2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)$$

입니다.

$w=\sqrt{3}+i$의 절댓값도 $2$이고, 점 $(\sqrt{3},1)$의 편각은 $\pi/6$입니다. 따라서

$$w=2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)$$

입니다.

이제 극형식끼리 곱하면,

$$zw=4\left(\cos\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}\right)\right)$$ $$=4\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)=4i$$

가 됩니다.

두 방법 모두 같은 답을 줍니다. 극형식의 핵심은 작은 수에서 항상 더 짧다는 점이 아니라, 곱셈 규칙을 쉽게 볼 수 있게 해 준다는 점입니다. 즉, 길이는 곱해지고 각도는 더해집니다.

복소수에서 자주 하는 실수

가장 흔한 실수는 $i^2=-1$이라는 사실을 잊는 것입니다. 이 부호 변화가 있어야 곱셈 결과의 실수부와 허수부가 올바르게 나옵니다.

또 다른 흔한 실수는 극형식에서 편각을 잘못 고르는 것입니다. 기준각만으로는 충분하지 않고, 올바른 사분면도 함께 확인해야 합니다.

또한 학생들은 가끔 극형식에서 절댓값과 편각을 각각 더해서 복소수를 더하려고 합니다. 이것은 맞지 않습니다. 극형식은 주로 곱셈, 나눗셈, 거듭제곱을 단순하게 만드는 데 쓰입니다.

한 가지 더 중요한 예외가 있습니다. 영복소수의 절댓값은 $0$이지만, 편각은 보통의 방식으로 정의되지 않습니다. 그래서 극형식은 주로 0이 아닌 복소수에 사용됩니다.

복소수는 어디에 쓰일까?

복소수는 다항방정식을 풀고, 회전과 진동을 설명하며, 공학과 물리학의 여러 시스템을 모델링하는 데 쓰입니다. 교류 회로, 신호 처리, 제어 이론, 양자역학에서도 등장합니다.

처음에는 대수에서 배우더라도, 복소수는 단순한 형식적 도구에 그치지 않습니다. 크기와 각도를 함께 포함하는 패턴을 간결하게 표현하게 해 줍니다.

비슷한 문제를 직접 풀어 보세요

$-1+i$를 극형식으로 나타내 보세요. 절댓값을 구하고, 올바른 사분면에서 편각을 정한 뒤, 그 결과를 제곱하고 다시 표준형으로 바꾸어 답이 맞는지 확인해 보세요.