Numeri complessi — Operazioni, forma polare ed esempi

I numeri complessi sono numeri della forma $a+bi$, dove $a$ e $b$ sono numeri reali e $i^2=-1$. Sono importanti perché permettono di risolvere equazioni come $x^2+1=0$ e offrono anche un modo chiaro per descrivere insieme modulo e direzione.

Se ti serve solo l’idea principale: la forma standard $a+bi$ è la migliore per addizione e sottrazione, mentre la forma polare è spesso più comoda per moltiplicare, dividere e calcolare potenze di numeri complessi non nulli.

Che cos’è un numero complesso?

In $z=a+bi$, il numero $a$ è la parte reale e $b$ è la parte immaginaria. Se $b=0$, allora $z$ è semplicemente un numero reale. Se $a=0$ e $b \ne 0$, il numero si dice puramente immaginario.

È utile rappresentare $a+bi$ come il punto $(a,b)$ nel piano complesso. La parte reale determina la posizione orizzontale, mentre la parte immaginaria determina la posizione verticale.

Alcune equazioni non hanno soluzioni reali ma hanno soluzioni complesse. Per esempio,

$$x^2+1=0$$

non ha soluzioni reali, ma nei numeri complessi le sue soluzioni sono $x=\pm i$.

Come sommare, sottrarre, moltiplicare e dividere numeri complessi

Addizione e sottrazione si fanno componente per componente. Si sommano le parti reali tra loro e le parti immaginarie tra loro:

$$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$$ $$(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$$

La moltiplicazione usa la proprietà distributiva e il fatto che $i^2=-1$:

$$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$$

La divisione si gestisce di solito con il coniugato. Il coniugato di $c+di$ è $c-di$. Se $c+di \ne 0$, allora

$$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}$$

Moltiplicare per il coniugato elimina la parte immaginaria dal denominatore, ed è per questo che il metodo funziona.

Come funziona la forma polare di un numero complesso

Per un numero complesso non nullo $z=a+bi$, il modulo è

$$|z|=\sqrt\{a^2+b^2\}$$

Il modulo è la distanza dall’origine al punto $(a,b)$ nel piano complesso.

Se $\theta$ è un angolo che individua la stessa posizione di $(a,b)$, allora

$$z=|z|(\cos\theta+i\sin\theta)$$

Questa è la forma polare di $z$. L’angolo $\theta$ si chiama argomento di $z$.

L’argomento non è unico. Se $\theta$ va bene, allora anche $\theta+2\pi k$ va bene per ogni intero $k$. In molti corsi si sceglie per convenzione un argomento principale, quindi controlla quale intervallo di angoli usa il tuo corso.

La forma polare è utile perché la moltiplicazione segue una regola semplice. Per numeri complessi non nulli, i moduli si moltiplicano e gli argomenti si sommano.

Esempio svolto: moltiplicazione in forma standard e in forma polare

Prendi

$$z=1+\sqrt{3}i$$

e

$$w=\sqrt{3}+i$$

Per prima cosa moltiplica in forma standard:

$$zw=(1+\sqrt{3}i)(\sqrt{3}+i)$$ $$=\sqrt{3}+i+3i+\sqrt{3}i^2$$ $$=\sqrt{3}+4i-\sqrt{3}=4i$$

Ora passa alla forma polare.

Per $z=1+\sqrt{3}i$, il modulo è

$$|z|=\sqrt\{1^2+(\sqrt\{3\})^2\}=2$$

e il punto $(1,\sqrt{3})$ ha argomento $\theta=\pi/3$. Quindi

$$z=2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)$$

Per $w=\sqrt{3}+i$, anche il modulo è $2$, e il punto $(\sqrt{3},1)$ ha argomento $\pi/6$. Quindi

$$w=2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)$$

Moltiplica le forme polari:

$$zw=4\left(\cos\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}\right)\right)$$ $$=4\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)=4i$$

Entrambi i metodi danno la stessa risposta. Il punto del metodo polare non è che sia sempre più breve con numeri piccoli, ma che rende facile vedere la regola della moltiplicazione: i moduli si moltiplicano, gli angoli si sommano.

Errori comuni con i numeri complessi

L’errore più comune è dimenticare che $i^2=-1$. Questo cambio di segno è ciò che produce la parte reale e la parte immaginaria corrette nel prodotto.

Un altro errore comune è scegliere l’argomento sbagliato nella forma polare. Il solo angolo di riferimento non basta: serve anche il quadrante corretto.

A volte gli studenti provano anche a sommare numeri complessi in forma polare sommando moduli e argomenti. Questo non funziona. La forma polare semplifica soprattutto moltiplicazioni, divisioni e potenze.

C’è anche un caso limite importante: il numero complesso zero ha modulo $0$, ma il suo argomento non è definito nel modo usuale. Per questo la forma polare si usa soprattutto per numeri complessi non nulli.

Quando si usano i numeri complessi

I numeri complessi si usano per risolvere equazioni polinomiali, descrivere rotazioni e oscillazioni e modellizzare sistemi in ingegneria e fisica. Compaiono nei circuiti in corrente alternata, nell’elaborazione dei segnali, nella teoria del controllo e nella meccanica quantistica.

Anche se li incontri per la prima volta in algebra, non sono solo un trucco formale. Offrono un modo compatto per descrivere schemi che coinvolgono sia il modulo sia l’angolo.

Prova a risolvere un problema simile

Prova a scrivere $-1+i$ in forma polare. Trova il suo modulo, scegli l’argomento nel quadrante corretto, poi eleva il risultato al quadrato e riconvertilo in forma standard per controllare il tuo lavoro.