Bilangan Kompleks — Operasi, Bentuk Polar & Contoh

Bilangan kompleks adalah bilangan berbentuk $a+bi$, dengan $a$ dan $b$ bilangan real dan $i^2=-1$. Bilangan ini penting karena memungkinkan Anda menyelesaikan persamaan seperti $x^2+1=0$, dan juga memberi cara yang rapi untuk menyatakan besar dan arah sekaligus.

Jika Anda hanya butuh inti cepatnya: bentuk standar $a+bi$ paling cocok untuk penjumlahan dan pengurangan, sedangkan bentuk polar sering lebih baik untuk perkalian, pembagian, dan pemangkatan bilangan kompleks tak nol.

Apa Itu Bilangan Kompleks?

Pada $z=a+bi$, bilangan $a$ adalah bagian real dan $b$ adalah bagian imajiner. Jika $b=0$, maka $z$ hanyalah bilangan real. Jika $a=0$ dan $b \ne 0$, bilangan itu disebut imajiner murni.

Akan membantu jika Anda membayangkan $a+bi$ sebagai titik $(a,b)$ pada bidang kompleks. Bagian real menentukan posisi horizontal, dan bagian imajiner menentukan posisi vertikal.

Beberapa persamaan tidak memiliki solusi real, tetapi memiliki solusi kompleks. Misalnya,

$$x^2+1=0$$

tidak memiliki solusi real, tetapi dalam bilangan kompleks solusinya adalah $x=\pm i$.

Cara Menjumlahkan, Mengurangkan, Mengalikan, dan Membagi Bilangan Kompleks

Penjumlahan dan pengurangan dilakukan per komponen. Gabungkan bagian real dengan bagian real, dan bagian imajiner dengan bagian imajiner:

$$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$$ $$(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$$

Perkalian menggunakan sifat distributif dan fakta bahwa $i^2=-1$:

$$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$$

Pembagian biasanya ditangani dengan konjugat. Konjugat dari $c+di$ adalah $c-di$. Jika $c+di \ne 0$, maka

$$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}$$

Mengalikan dengan konjugat menghilangkan bagian imajiner dari penyebut, itulah sebabnya metode ini bekerja.

Cara Kerja Bentuk Polar Bilangan Kompleks

Untuk bilangan kompleks tak nol $z=a+bi$, modulusnya adalah

$$|z|=\sqrt\{a^2+b^2\}$$

Modulus adalah jarak dari titik asal ke titik $(a,b)$ pada bidang kompleks.

Jika $\theta$ adalah sudut yang mengarah ke lokasi yang sama dengan $(a,b)$, maka

$$z=|z|(\cos\theta+i\sin\theta)$$

Inilah bentuk polar dari $z$. Sudut $\theta$ disebut argumen dari $z$.

Argumen tidak tunggal. Jika $\theta$ berlaku, maka $\theta+2\pi k$ juga berlaku untuk setiap bilangan bulat $k$. Banyak mata kuliah memilih satu argumen utama berdasarkan konvensi, jadi periksa rentang sudut yang digunakan di kelas Anda.

Bentuk polar berguna karena perkalian memiliki pola yang rapi. Untuk bilangan kompleks tak nol, modulus dikalikan dan argumen dijumlahkan.

Contoh Soal: Mengalikan dalam Bentuk Standar dan Bentuk Polar

Ambil

$$z=1+\sqrt{3}i$$

dan

$$w=\sqrt{3}+i$$

Pertama, kalikan dalam bentuk standar:

$$zw=(1+\sqrt{3}i)(\sqrt{3}+i)$$ $$=\sqrt{3}+i+3i+\sqrt{3}i^2$$ $$=\sqrt{3}+4i-\sqrt{3}=4i$$

Sekarang ubah ke bentuk polar.

Untuk $z=1+\sqrt{3}i$, modulusnya adalah

$$|z|=\sqrt\{1^2+(\sqrt\{3\})^2\}=2$$

dan titik $(1,\sqrt{3})$ memiliki argumen $\theta=\pi/3$. Jadi

$$z=2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)$$

Untuk $w=\sqrt{3}+i$, modulusnya juga $2$, dan titik $(\sqrt{3},1)$ memiliki argumen $\pi/6$. Jadi

$$w=2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)$$

Kalikan bentuk polar tersebut:

$$zw=4\left(\cos\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}\right)\right)$$ $$=4\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)=4i$$

Kedua metode memberi jawaban yang sama. Inti dari metode polar bukanlah bahwa metode ini selalu lebih singkat untuk bilangan kecil, tetapi bahwa metode ini membuat aturan perkalian mudah terlihat: panjang dikalikan, sudut dijumlahkan.

Kesalahan Umum pada Bilangan Kompleks

Kesalahan yang paling umum adalah lupa bahwa $i^2=-1$. Perubahan tanda itu yang menghasilkan bagian real dan bagian imajiner yang benar pada hasil perkalian.

Kesalahan umum lainnya adalah memilih argumen yang salah dalam bentuk polar. Sudut acuan saja tidak cukup; Anda juga perlu menentukan kuadran yang benar.

Siswa juga kadang mencoba menjumlahkan bilangan kompleks dalam bentuk polar dengan menjumlahkan modulus dan argumennya. Itu tidak benar. Bentuk polar terutama menyederhanakan perkalian, pembagian, dan pemangkatan.

Ada satu kasus khusus lagi yang penting: bilangan kompleks nol memiliki modulus $0$, tetapi argumennya tidak didefinisikan dengan cara biasa. Jadi bentuk polar terutama digunakan untuk bilangan kompleks tak nol.

Kapan Bilangan Kompleks Digunakan

Bilangan kompleks digunakan untuk menyelesaikan persamaan polinomial, menggambarkan rotasi dan osilasi, serta memodelkan sistem dalam teknik dan fisika. Bilangan ini muncul dalam rangkaian AC, pemrosesan sinyal, teori kontrol, dan mekanika kuantum.

Meskipun Anda mungkin pertama kali menemukannya dalam aljabar, bilangan kompleks bukan sekadar trik formal. Bilangan ini memberi cara yang ringkas untuk menggambarkan pola yang melibatkan besar dan sudut sekaligus.

Coba Selesaikan Soal Serupa

Cobalah menuliskan $-1+i$ dalam bentuk polar. Tentukan modulusnya, pilih argumen dari kuadran yang benar, lalu kuadratkan hasilnya dan ubah kembali ke bentuk standar untuk memeriksa pekerjaan Anda.