Komplexe Zahlen — Rechenoperationen, Polarform & Beispiele

Komplexe Zahlen sind Zahlen der Form $a+bi$, wobei $a$ und $b$ reelle Zahlen sind und $i^2=-1$ gilt. Sie sind wichtig, weil man mit ihnen Gleichungen wie $x^2+1=0$ lösen kann. Außerdem bieten sie eine klare Möglichkeit, Betrag und Richtung gemeinsam zu beschreiben.

Wenn du nur das Wichtigste brauchst: Die Standardform $a+bi$ eignet sich am besten für Addition und Subtraktion, während die Polarform oft besser für Multiplikation, Division und Potenzen von von null verschiedenen komplexen Zahlen ist.

Was ist eine komplexe Zahl?

In $z=a+bi$ ist die Zahl $a$ der Realteil und $b$ der Imaginärteil. Wenn $b=0$, dann ist $z$ einfach eine reelle Zahl. Wenn $a=0$ und $b \ne 0$, nennt man die Zahl rein imaginär.

Es hilft, sich $a+bi$ als den Punkt $(a,b)$ in der komplexen Ebene vorzustellen. Der Realteil gibt die horizontale Position an, und der Imaginärteil die vertikale Position.

Manche Gleichungen haben keine reelle Lösung, aber komplexe Lösungen. Zum Beispiel hat

$$x^2+1=0$$

keine reelle Lösung, aber in den komplexen Zahlen sind die Lösungen $x=\pm i$.

Wie man komplexe Zahlen addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert

Addition und Subtraktion erfolgen komponentenweise. Man fasst Realteile mit Realteilen und Imaginärteile mit Imaginärteilen zusammen:

$$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$$ $$(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$$

Bei der Multiplikation verwendet man das Distributivgesetz und die Tatsache, dass $i^2=-1$ gilt:

$$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$$

Die Division behandelt man meist mit dem konjugiert Komplexen. Das konjugiert Komplexe von $c+di$ ist $c-di$. Falls $c+di \ne 0$, dann gilt

$$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}$$

Durch die Multiplikation mit dem konjugiert Komplexen verschwindet der Imaginärteil im Nenner. Deshalb funktioniert diese Methode.

Wie die Polarform einer komplexen Zahl funktioniert

Für eine von null verschiedene komplexe Zahl $z=a+bi$ ist der Betrag

$$|z|=\sqrt\{a^2+b^2\}$$

Der Betrag ist der Abstand vom Ursprung zum Punkt $(a,b)$ in der komplexen Ebene.

Wenn $\theta$ ein Winkel ist, der auf dieselbe Lage wie $(a,b)$ zeigt, dann gilt

$$z=|z|(\cos\theta+i\sin\theta)$$

Das ist die Polarform von $z$. Der Winkel $\theta$ heißt ein Argument von $z$.

Das Argument ist nicht eindeutig. Wenn $\theta$ funktioniert, dann funktioniert auch $\theta+2\pi k$ für jede ganze Zahl $k$. In vielen Kursen wählt man konventionsgemäß ein Hauptargument, also prüfe, welchen Winkelbereich in deinem Kurs verwendet wird.

Die Polarform ist nützlich, weil die Multiplikation ein klares Muster hat. Für von null verschiedene komplexe Zahlen werden die Beträge multipliziert und die Argumente addiert.

Durchgerechnetes Beispiel: Multiplikation in Standardform und Polarform

Nimm

$$z=1+\sqrt{3}i$$

und

$$w=\sqrt{3}+i$$

Zuerst multiplizieren wir in Standardform:

$$zw=(1+\sqrt{3}i)(\sqrt{3}+i)$$ $$=\sqrt{3}+i+3i+\sqrt{3}i^2$$ $$=\sqrt{3}+4i-\sqrt{3}=4i$$

Jetzt wechseln wir zur Polarform.

Für $z=1+\sqrt{3}i$ ist der Betrag

$$|z|=\sqrt\{1^2+(\sqrt\{3\})^2\}=2$$

und der Punkt $(1,\sqrt{3})$ hat das Argument $\theta=\pi/3$. Also gilt

$$z=2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)$$

Für $w=\sqrt{3}+i$ ist der Betrag ebenfalls $2$, und der Punkt $(\sqrt{3},1)$ hat das Argument $\pi/6$. Also gilt

$$w=2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)$$

Multipliziere die Polarformen:

$$zw=4\left(\cos\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}\right)\right)$$ $$=4\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)=4i$$

Beide Methoden liefern dasselbe Ergebnis. Der Punkt der Polarmethode ist nicht, dass sie bei kleinen Zahlen immer kürzer ist. Sondern sie macht die Multiplikationsregel leicht sichtbar: Beträge werden multipliziert, Winkel werden addiert.

Häufige Fehler bei komplexen Zahlen

Der häufigste Fehler ist zu vergessen, dass $i^2=-1$ gilt. Dieser Vorzeichenwechsel sorgt dafür, dass bei einem Produkt der richtige Realteil und Imaginärteil entsteht.

Ein weiterer häufiger Fehler ist die Wahl des falschen Arguments in der Polarform. Ein Bezugswinkel allein reicht nicht aus. Du brauchst auch den richtigen Quadranten.

Manche Lernende versuchen auch, komplexe Zahlen in Polarform zu addieren, indem sie Beträge und Argumente addieren. Das funktioniert nicht. Die Polarform vereinfacht vor allem Multiplikation, Division und Potenzen.

Ein weiterer Sonderfall ist wichtig: Die komplexe Zahl null hat den Betrag $0$, aber ihr Argument ist in der üblichen Weise nicht definiert. Deshalb verwendet man die Polarform hauptsächlich für von null verschiedene komplexe Zahlen.

Wann komplexe Zahlen verwendet werden

Komplexe Zahlen werden verwendet, um Polynomgleichungen zu lösen, Drehungen und Schwingungen zu beschreiben und Systeme in Technik und Physik zu modellieren. Sie tauchen in Wechselstromkreisen, der Signalverarbeitung, der Regelungstechnik und der Quantenmechanik auf.

Auch wenn du ihnen zuerst in der Algebra begegnest, sind sie nicht nur ein formaler Trick. Sie bieten eine kompakte Möglichkeit, Muster zu beschreiben, die sowohl Betrag als auch Winkel enthalten.

Versuche, eine ähnliche Aufgabe zu lösen

Versuche, $-1+i$ in Polarform zu schreiben. Bestimme seinen Betrag, wähle das Argument aus dem richtigen Quadranten und quadriere dann das Ergebnis. Wandle anschließend zurück in die Standardform, um deine Rechnung zu überprüfen.