Liczby zespolone — działania, postać trygonometryczna i przykłady

Liczby zespolone to liczby postaci $a+bi$, gdzie $a$ i $b$ są liczbami rzeczywistymi, a $i^2=-1$. Są ważne, ponieważ pozwalają rozwiązywać równania takie jak $x^2+1=0$, a także w prosty sposób opisywać jednocześnie długość i kierunek.

Jeśli potrzebujesz tylko najważniejszej informacji: postać algebraiczna $a+bi$ najlepiej nadaje się do dodawania i odejmowania, natomiast postać trygonometryczna jest często wygodniejsza przy mnożeniu, dzieleniu i potęgowaniu niezerowych liczb zespolonych.

Czym jest liczba zespolona?

W zapisie $z=a+bi$ liczba $a$ to część rzeczywista, a $b$ to część urojona. Jeśli $b=0$, to $z$ jest po prostu liczbą rzeczywistą. Jeśli $a=0$ i $b \ne 0$, taką liczbę nazywamy liczbą czysto urojoną.

Pomaga wyobrażenie sobie liczby $a+bi$ jako punktu $(a,b)$ na płaszczyźnie zespolonej. Część rzeczywista wyznacza położenie poziome, a część urojona położenie pionowe.

Niektóre równania nie mają rozwiązań rzeczywistych, ale mają rozwiązania zespolone. Na przykład

$$x^2+1=0$$

nie ma rozwiązania rzeczywistego, ale w zbiorze liczb zespolonych jego rozwiązaniami są $x=\pm i$.

Jak dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić liczby zespolone

Dodawanie i odejmowanie wykonuje się składowo. Łączysz części rzeczywiste z częściami rzeczywistymi oraz części urojone z częściami urojonymi:

$$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$$ $$(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$$

Mnożenie wykorzystuje prawo rozdzielności oraz fakt, że $i^2=-1$:

$$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$$

Dzielenie zwykle wykonuje się za pomocą liczby sprzężonej. Liczbą sprzężoną do $c+di$ jest $c-di$. Jeśli $c+di \ne 0$, to

$$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}$$

Mnożenie przez liczbę sprzężoną usuwa część urojoną z mianownika, dlatego ta metoda działa.

Jak działa postać trygonometryczna liczby zespolonej

Dla niezerowej liczby zespolonej $z=a+bi$ moduł wynosi

$$|z|=\sqrt\{a^2+b^2\}$$

Moduł to odległość od początku układu współrzędnych do punktu $(a,b)$ na płaszczyźnie zespolonej.

Jeśli $\theta$ jest kątem wskazującym to samo położenie co punkt $(a,b)$, to

$$z=|z|(\cos\theta+i\sin\theta)$$

To jest postać trygonometryczna liczby $z$. Kąt $\theta$ nazywa się argumentem liczby $z$.

Argument nie jest wyznaczony jednoznacznie. Jeśli $\theta$ działa, to $\theta+2\pi k$ także działa dla dowolnej liczby całkowitej $k$. Na wielu kursach przyjmuje się umownie jeden argument główny, więc warto sprawdzić, jaki zakres kątów obowiązuje na twoich zajęciach.

Postać trygonometryczna jest przydatna, ponieważ mnożenie ma w niej prosty schemat. Dla niezerowych liczb zespolonych moduły się mnożą, a argumenty się dodają.

Przykład: mnożenie w postaci algebraicznej i trygonometrycznej

Weźmy

$$z=1+\sqrt{3}i$$

oraz

$$w=\sqrt{3}+i$$

Najpierw pomnóżmy w postaci algebraicznej:

$$zw=(1+\sqrt{3}i)(\sqrt{3}+i)$$ $$=\sqrt{3}+i+3i+\sqrt{3}i^2$$ $$=\sqrt{3}+4i-\sqrt{3}=4i$$

Teraz przejdźmy do postaci trygonometrycznej.

Dla $z=1+\sqrt{3}i$ moduł wynosi

$$|z|=\sqrt\{1^2+(\sqrt\{3\})^2\}=2$$

a punkt $(1,\sqrt{3})$ ma argument $\theta=\pi/3$. Zatem

$$z=2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)$$

Dla $w=\sqrt{3}+i$ moduł również wynosi $2$, a punkt $(\sqrt{3},1)$ ma argument $\pi/6$. Zatem

$$w=2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)$$

Mnożymy postacie trygonometryczne:

$$zw=4\left(\cos\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}\right)\right)$$ $$=4\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)=4i$$

Obie metody dają ten sam wynik. Sens metody trygonometrycznej nie polega na tym, że zawsze jest krótsza dla małych liczb, lecz na tym, że bardzo wyraźnie pokazuje regułę mnożenia: długości się mnożą, kąty się dodają.

Najczęstsze błędy przy liczbach zespolonych

Najczęstszy błąd to zapominanie, że $i^2=-1$. Ta zmiana znaku sprawia, że w iloczynie otrzymujesz poprawną część rzeczywistą i urojoną.

Inny częsty błąd to wybranie niewłaściwego argumentu w postaci trygonometrycznej. Sam kąt odniesienia nie wystarczy; trzeba jeszcze uwzględnić właściwą ćwiartkę.

Uczniowie czasem próbują też dodawać liczby zespolone w postaci trygonometrycznej przez dodawanie modułów i argumentów. To nie działa. Postać trygonometryczna upraszcza głównie mnożenie, dzielenie i potęgowanie.

Warto pamiętać jeszcze o jednym szczególnym przypadku: liczba zespolona zero ma moduł równy $0$, ale jej argument nie jest w zwykły sposób określony. Dlatego postaci trygonometrycznej używa się głównie dla niezerowych liczb zespolonych.

Gdzie stosuje się liczby zespolone

Liczby zespolone wykorzystuje się do rozwiązywania równań wielomianowych, opisu obrotów i drgań oraz modelowania układów w inżynierii i fizyce. Pojawiają się w obwodach prądu przemiennego, przetwarzaniu sygnałów, teorii sterowania i mechanice kwantowej.

Nawet jeśli po raz pierwszy spotykasz je na algebrze, nie są tylko formalną sztuczką. Dają zwięzły sposób opisu zjawisk, w których występują jednocześnie wartość i kąt.

Spróbuj rozwiązać podobne zadanie

Spróbuj zapisać $-1+i$ w postaci trygonometrycznej. Wyznacz jego moduł, wybierz argument z właściwej ćwiartki, a następnie podnieś wynik do kwadratu i wróć do postaci algebraicznej, aby sprawdzić swoje obliczenia.