Μιγαδικοί αριθμοί — Πράξεις, πολική μορφή και παραδείγματα

Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι αριθμοί της μορφής $a+bi$, όπου τα $a$ και $b$ είναι πραγματικοί αριθμοί και $i^2=-1$. Είναι σημαντικοί επειδή σου επιτρέπουν να λύνεις εξισώσεις όπως η $x^2+1=0$, και επίσης δίνουν έναν καθαρό τρόπο να περιγράφεις μαζί μέτρο και κατεύθυνση.

Αν χρειάζεσαι μόνο το βασικό συμπέρασμα: η αλγεβρική μορφή $a+bi$ είναι καλύτερη για πρόσθεση και αφαίρεση, ενώ η πολική μορφή είναι συχνά καλύτερη για πολλαπλασιασμό, διαίρεση και ύψωση σε δύναμη μη μηδενικών μιγαδικών αριθμών.

Τι είναι ένας μιγαδικός αριθμός;

Στο $z=a+bi$, ο αριθμός $a$ είναι το πραγματικό μέρος και ο $b$ είναι το φανταστικό μέρος. Αν $b=0$, τότε το $z$ είναι απλώς ένας πραγματικός αριθμός. Αν $a=0$ και $b \ne 0$, ο αριθμός λέγεται αμιγώς φανταστικός.

Βοηθά να φαντάζεσαι το $a+bi$ ως το σημείο $(a,b)$ στο μιγαδικό επίπεδο. Το πραγματικό μέρος δίνει την οριζόντια θέση και το φανταστικό μέρος δίνει την κατακόρυφη θέση.

Μερικές εξισώσεις δεν έχουν πραγματική λύση, αλλά έχουν μιγαδικές λύσεις. Για παράδειγμα,

$$x^2+1=0$$

δεν έχει πραγματική λύση, αλλά στους μιγαδικούς αριθμούς οι λύσεις της είναι $x=\pm i$.

Πώς να προσθέτεις, να αφαιρείς, να πολλαπλασιάζεις και να διαιρείς μιγαδικούς αριθμούς

Η πρόσθεση και η αφαίρεση γίνονται κατά συνιστώσες. Συνδυάζεις τα πραγματικά μέρη με τα πραγματικά μέρη και τα φανταστικά μέρη με τα φανταστικά μέρη:

$$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$$ $$(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$$

Ο πολλαπλασιασμός χρησιμοποιεί την επιμεριστική ιδιότητα και το γεγονός ότι $i^2=-1$:

$$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$$

Η διαίρεση συνήθως γίνεται με το συζυγές. Το συζυγές του $c+di$ είναι το $c-di$. Αν $c+di \ne 0$, τότε

$$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}$$

Ο πολλαπλασιασμός με το συζυγές αφαιρεί το φανταστικό μέρος από τον παρονομαστή, και γι’ αυτό η μέθοδος λειτουργεί.

Πώς λειτουργεί η πολική μορφή ενός μιγαδικού αριθμού

Για έναν μη μηδενικό μιγαδικό αριθμό $z=a+bi$, το μέτρο είναι

$$|z|=\sqrt\{a^2+b^2\}$$

Το μέτρο είναι η απόσταση από την αρχή των αξόνων μέχρι το σημείο $(a,b)$ στο μιγαδικό επίπεδο.

Αν $\theta$ είναι μια γωνία που δείχνει στην ίδια θέση με το $(a,b)$, τότε

$$z=|z|(\cos\theta+i\sin\theta)$$

Αυτή είναι η πολική μορφή του $z$. Η γωνία $\theta$ λέγεται ένα όρισμα του $z$.

Το όρισμα δεν είναι μοναδικό. Αν το $\theta$ λειτουργεί, τότε και το $\theta+2\pi k$ λειτουργεί για κάθε ακέραιο $k$. Σε πολλά μαθήματα επιλέγεται συμβατικά ένα κύριο όρισμα, οπότε έλεγξε ποιο διάστημα γωνιών χρησιμοποιεί το μάθημά σου.

Η πολική μορφή είναι χρήσιμη επειδή ο πολλαπλασιασμός ακολουθεί ένα καθαρό μοτίβο. Για μη μηδενικούς μιγαδικούς αριθμούς, τα μέτρα πολλαπλασιάζονται και τα ορίσματα προστίθενται.

Λυμένο παράδειγμα: Πολλαπλασιασμός σε αλγεβρική και πολική μορφή

Πάρε

$$z=1+\sqrt{3}i$$

και

$$w=\sqrt{3}+i$$

Πρώτα πολλαπλασιάζουμε στην αλγεβρική μορφή:

$$zw=(1+\sqrt{3}i)(\sqrt{3}+i)$$ $$=\sqrt{3}+i+3i+\sqrt{3}i^2$$ $$=\sqrt{3}+4i-\sqrt{3}=4i$$

Τώρα περνάμε στην πολική μορφή.

Για το $z=1+\sqrt{3}i$, το μέτρο είναι

$$|z|=\sqrt\{1^2+(\sqrt\{3\})^2\}=2$$

και το σημείο $(1,\sqrt{3})$ έχει όρισμα $\theta=\pi/3$. Άρα

$$z=2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)$$

Για το $w=\sqrt{3}+i$, το μέτρο είναι επίσης $2$, και το σημείο $(\sqrt{3},1)$ έχει όρισμα $\pi/6$. Άρα

$$w=2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)$$

Πολλαπλασιάζουμε τις πολικές μορφές:

$$zw=4\left(\cos\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}\right)\right)$$ $$=4\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)=4i$$

Και οι δύο μέθοδοι δίνουν την ίδια απάντηση. Το νόημα της πολικής μεθόδου δεν είναι ότι είναι πάντα πιο σύντομη για μικρούς αριθμούς, αλλά ότι κάνει εύκολο να δεις τον κανόνα του πολλαπλασιασμού: τα μήκη πολλαπλασιάζονται, οι γωνίες προστίθενται.

Συνηθισμένα λάθη με τους μιγαδικούς αριθμούς

Το πιο συνηθισμένο λάθος είναι να ξεχνάς ότι $i^2=-1$. Αυτή η αλλαγή πρόσημου είναι που δίνει το σωστό πραγματικό και φανταστικό μέρος σε ένα γινόμενο.

Ένα άλλο συνηθισμένο λάθος είναι η επιλογή λανθασμένου ορίσματος στην πολική μορφή. Μια βοηθητική γωνία από μόνη της δεν αρκεί· χρειάζεσαι και το σωστό τεταρτημόριο.

Οι μαθητές επίσης μερικές φορές προσπαθούν να προσθέσουν μιγαδικούς αριθμούς σε πολική μορφή προσθέτοντας μέτρα και ορίσματα. Αυτό δεν λειτουργεί. Η πολική μορφή απλοποιεί κυρίως τον πολλαπλασιασμό, τη διαίρεση και τις δυνάμεις.

Υπάρχει και μία ακόμη ειδική περίπτωση: ο μηδενικός μιγαδικός αριθμός έχει μέτρο $0$, αλλά το όρισμά του δεν ορίζεται με τον συνηθισμένο τρόπο. Γι’ αυτό η πολική μορφή χρησιμοποιείται κυρίως για μη μηδενικούς μιγαδικούς αριθμούς.

Πού χρησιμοποιούνται οι μιγαδικοί αριθμοί

Οι μιγαδικοί αριθμοί χρησιμοποιούνται για τη λύση πολυωνυμικών εξισώσεων, την περιγραφή περιστροφών και ταλαντώσεων και τη μοντελοποίηση συστημάτων στη μηχανική και τη φυσική. Εμφανίζονται σε κυκλώματα εναλλασσόμενου ρεύματος, στην επεξεργασία σήματος, στη θεωρία ελέγχου και στην κβαντομηχανική.

Ακόμα κι αν τους συναντήσεις πρώτα στην άλγεβρα, δεν είναι απλώς ένα τυπικό τέχνασμα. Προσφέρουν έναν συμπαγή τρόπο να περιγράφεις μοτίβα που περιλαμβάνουν και μέτρο και γωνία.

Δοκίμασε να λύσεις ένα παρόμοιο πρόβλημα

Δοκίμασε να γράψεις το $-1+i$ σε πολική μορφή. Βρες το μέτρο του, διάλεξε το όρισμα από το σωστό τεταρτημόριο, έπειτα ύψωσε το αποτέλεσμα στο τετράγωνο και μετέτρεψέ το ξανά σε αλγεβρική μορφή για να ελέγξεις τη δουλειά σου.