Nombres complexes — opérations, forme polaire et exemples

Les nombres complexes sont des nombres de la forme $a+bi$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels et $i^2=-1$. Ils sont importants parce qu’ils permettent de résoudre des équations comme $x^2+1=0$, et ils offrent aussi une manière simple de décrire à la fois une grandeur et une direction.

Si vous voulez seulement retenir l’essentiel : la forme algébrique $a+bi$ est la plus pratique pour l’addition et la soustraction, tandis que la forme polaire est souvent préférable pour multiplier, diviser et élever à une puissance des nombres complexes non nuls.

Qu’est-ce qu’un nombre complexe ?

Dans $z=a+bi$, le nombre $a$ est la partie réelle et $b$ est la partie imaginaire. Si $b=0$, alors $z$ est simplement un nombre réel. Si $a=0$ et $b \ne 0$, le nombre est dit imaginaire pur.

Il est utile de représenter $a+bi$ comme le point $(a,b)$ dans le plan complexe. La partie réelle donne la position horizontale, et la partie imaginaire donne la position verticale.

Certaines équations n’ont pas de solution réelle mais ont des solutions complexes. Par exemple,

$$x^2+1=0$$

n’a pas de solution réelle, mais dans les nombres complexes ses solutions sont $x=\pm i$.

Comment additionner, soustraire, multiplier et diviser des nombres complexes

L’addition et la soustraction se font composante par composante. On regroupe les parties réelles entre elles, et les parties imaginaires entre elles :

$$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$$ $$(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$$

La multiplication utilise la distributivité et le fait que $i^2=-1$ :

$$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$$

La division se traite généralement à l’aide du conjugué. Le conjugué de $c+di$ est $c-di$. Si $c+di \ne 0$, alors

$$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}$$

Multiplier par le conjugué enlève la partie imaginaire du dénominateur, ce qui explique pourquoi cette méthode fonctionne.

Comment fonctionne la forme polaire d’un nombre complexe

Pour un nombre complexe non nul $z=a+bi$, le module est

$$|z|=\sqrt\{a^2+b^2\}$$

Le module est la distance entre l’origine et le point $(a,b)$ dans le plan complexe.

Si $\theta$ est un angle qui pointe vers la même position que $(a,b)$, alors

$$z=|z|(\cos\theta+i\sin\theta)$$

C’est la forme polaire de $z$. L’angle $\theta$ s’appelle un argument de $z$.

L’argument n’est pas unique. Si $\theta$ convient, alors $\theta+2\pi k$ convient aussi pour tout entier $k$. Dans beaucoup de cours, on choisit par convention un argument principal, donc vérifiez quel intervalle d’angles votre cours utilise.

La forme polaire est utile parce que la multiplication suit une règle simple. Pour des nombres complexes non nuls, les modules se multiplient et les arguments s’additionnent.

Exemple détaillé : multiplier en forme algébrique et en forme polaire

Prenons

$$z=1+\sqrt{3}i$$

et

$$w=\sqrt{3}+i$$

Commençons par multiplier en forme algébrique :

$$zw=(1+\sqrt{3}i)(\sqrt{3}+i)$$ $$=\sqrt{3}+i+3i+\sqrt{3}i^2$$ $$=\sqrt{3}+4i-\sqrt{3}=4i$$

Passons maintenant à la forme polaire.

Pour $z=1+\sqrt{3}i$, le module est

$$|z|=\sqrt\{1^2+(\sqrt\{3\})^2\}=2$$

et le point $(1,\sqrt{3})$ a pour argument $\theta=\pi/3$. Donc

$$z=2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)$$

Pour $w=\sqrt{3}+i$, le module vaut aussi $2$, et le point $(\sqrt{3},1)$ a pour argument $\pi/6$. Donc

$$w=2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)$$

Multiplions les formes polaires :

$$zw=4\left(\cos\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}\right)\right)$$ $$=4\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)=4i$$

Les deux méthodes donnent le même résultat. L’intérêt de la méthode polaire n’est pas forcément d’être plus courte pour de petits nombres, mais de rendre la règle de multiplication très visible : les longueurs se multiplient, les angles s’additionnent.

Erreurs fréquentes avec les nombres complexes

L’erreur la plus fréquente consiste à oublier que $i^2=-1$. Ce changement de signe est ce qui donne la bonne partie réelle et la bonne partie imaginaire dans un produit.

Une autre erreur fréquente est de choisir le mauvais argument en forme polaire. Un angle de référence ne suffit pas à lui seul ; il faut aussi tenir compte du bon quadrant.

Les élèves essaient aussi parfois d’additionner des nombres complexes en forme polaire en additionnant les modules et les arguments. Cela ne fonctionne pas. La forme polaire simplifie surtout la multiplication, la division et les puissances.

Un dernier cas particulier est important : le nombre complexe nul a pour module $0$, mais son argument n’est pas défini de la manière habituelle. C’est pourquoi la forme polaire est surtout utilisée pour les nombres complexes non nuls.

Quand utilise-t-on les nombres complexes ?

Les nombres complexes servent à résoudre des équations polynomiales, à décrire des rotations et des oscillations, et à modéliser des systèmes en ingénierie et en physique. On les retrouve dans les circuits en courant alternatif, le traitement du signal, l’automatique et la mécanique quantique.

Même si on les découvre d’abord en algèbre, ce ne sont pas seulement un artifice formel. Ils offrent une manière compacte de décrire des phénomènes qui font intervenir à la fois une grandeur et un angle.

Essayez un problème similaire

Essayez d’écrire $-1+i$ sous forme polaire. Trouvez son module, choisissez l’argument dans le bon quadrant, puis élevez le résultat au carré et revenez à la forme algébrique pour vérifier votre réponse.