จำนวนเชิงซ้อน — การดำเนินการ รูปเชิงขั้ว และตัวอย่าง

จำนวนเชิงซ้อนคือจำนวนในรูป $a+bi$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง และ $i^2=-1$ จำนวนเชิงซ้อนสำคัญเพราะช่วยให้เราแก้สมการอย่าง $x^2+1=0$ ได้ และยังเป็นวิธีที่กระชับในการอธิบายขนาดและทิศทางไปพร้อมกัน

ถ้าต้องการสรุปแบบเร็ว: รูปมาตรฐาน $a+bi$ เหมาะที่สุดสำหรับการบวกและการลบ ส่วนรูปเชิงขั้วมักเหมาะกว่าสำหรับการคูณ การหาร และการยกกำลังของจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เป็นศูนย์

จำนวนเชิงซ้อนคืออะไร?

ใน $z=a+bi$ จำนวน $a$ คือส่วนจริง และ $b$ คือส่วนจินตภาพ ถ้า $b=0$ แล้ว $z$ ก็เป็นเพียงจำนวนจริง ถ้า $a=0$ และ $b \ne 0$ จำนวนนี้เรียกว่า จำนวนจินตภาพแท้

การมอง $a+bi$ เป็นจุด $(a,b)$ บนระนาบเชิงซ้อนจะช่วยให้เข้าใจได้ง่ายขึ้น ส่วนจริงบอกตำแหน่งในแนวนอน และส่วนจินตภาพบอกตำแหน่งในแนวตั้ง

สมการบางสมการไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริง แต่มีคำตอบเป็นจำนวนเชิงซ้อน ตัวอย่างเช่น

$$x^2+1=0$$

ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริง แต่ในระบบจำนวนเชิงซ้อน คำตอบคือ $x=\pm i$

วิธีบวก ลบ คูณ และหารจำนวนเชิงซ้อน

การบวกและการลบทำแบบแยกส่วน นำส่วนจริงมารวมกับส่วนจริง และส่วนจินตภาพมารวมกับส่วนจินตภาพ:

$$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$$ $$(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$$

การคูณใช้สมบัติการแจกแจงและข้อเท็จจริงที่ว่า $i^2=-1$:

$$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$$

การหารมักจัดการด้วยคอนจูเกต คอนจูเกตของ $c+di$ คือ $c-di$ ถ้า $c+di \ne 0$ แล้ว

$$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}$$

การคูณด้วยคอนจูเกตจะกำจัดส่วนจินตภาพออกจากตัวส่วน ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมวิธีนี้จึงใช้ได้

รูปเชิงขั้วของจำนวนเชิงซ้อนทำงานอย่างไร

สำหรับจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เป็นศูนย์ $z=a+bi$ มอดูลัสคือ

$$|z|=\sqrt\{a^2+b^2\}$$

มอดูลัสคือระยะจากจุดกำเนิดไปยังจุด $(a,b)$ บนระนาบเชิงซ้อน

ถ้า $\theta$ เป็นมุมที่ชี้ไปยังตำแหน่งเดียวกับ $(a,b)$ แล้ว

$$z=|z|(\cos\theta+i\sin\theta)$$

นี่คือรูปเชิงขั้วของ $z$ มุม $\theta$ เรียกว่า อาร์กิวเมนต์ ของ $z$

อาร์กิวเมนต์ไม่ได้มีค่าเดียว ถ้า $\theta$ ใช้ได้แล้ว $\theta+2\pi k$ ก็ใช้ได้เช่นกันสำหรับจำนวนเต็มใด ๆ $k$ หลายวิชาจะกำหนดอาร์กิวเมนต์หลักไว้ตามข้อตกลง ดังนั้นควรตรวจสอบว่าชั้นเรียนของคุณใช้ช่วงมุมใด

รูปเชิงขั้วมีประโยชน์เพราะการคูณมีรูปแบบที่ชัดเจน สำหรับจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เป็นศูนย์ มอดูลัสจะคูณกัน และอาร์กิวเมนต์จะบวกกัน

ตัวอย่างทำโจทย์: คูณในรูปมาตรฐานและรูปเชิงขั้ว

กำหนดให้

$$z=1+\sqrt{3}i$$

และ

$$w=\sqrt{3}+i$$

เริ่มจากคูณในรูปมาตรฐาน:

$$zw=(1+\sqrt{3}i)(\sqrt{3}+i)$$ $$=\sqrt{3}+i+3i+\sqrt{3}i^2$$ $$=\sqrt{3}+4i-\sqrt{3}=4i$$

ต่อไปเปลี่ยนเป็นรูปเชิงขั้ว

สำหรับ $z=1+\sqrt{3}i$ มอดูลัสคือ

$$|z|=\sqrt\{1^2+(\sqrt\{3\})^2\}=2$$

และจุด $(1,\sqrt{3})$ มีอาร์กิวเมนต์ $\theta=\pi/3$ ดังนั้น

$$z=2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)$$

สำหรับ $w=\sqrt{3}+i$ มอดูลัสก็เท่ากับ $2$ เช่นกัน และจุด $(\sqrt{3},1)$ มีอาร์กิวเมนต์ $\pi/6$ ดังนั้น

$$w=2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)$$

คูณรูปเชิงขั้วเข้าด้วยกัน:

$$zw=4\left(\cos\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}\right)\right)$$ $$=4\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)=4i$$

ทั้งสองวิธีให้คำตอบเดียวกัน จุดสำคัญของวิธีเชิงขั้วไม่ใช่ว่าจะสั้นกว่าเสมอสำหรับตัวเลขเล็ก ๆ แต่คือมันทำให้เห็นกฎของการคูณได้ชัดเจน: ความยาวคูณกัน มุมบวกกัน

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อน

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดคือการลืมว่า $i^2=-1$ การเปลี่ยนเครื่องหมายนี้เองที่ทำให้ผลคูณออกมาเป็นส่วนจริงและส่วนจินตภาพที่ถูกต้อง

อีกข้อผิดพลาดที่พบบ่อยคือการเลือกอาร์กิวเมนต์ผิดในรูปเชิงขั้ว มุมอ้างอิงเพียงอย่างเดียวไม่พอ คุณยังต้องเลือกควอดแรนต์ที่ถูกต้องด้วย

บางครั้งนักเรียนยังพยายามบวกจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้วโดยบวกมอดูลัสและอาร์กิวเมนต์เข้าด้วยกัน ซึ่งทำไม่ได้ รูปเชิงขั้วช่วยให้การคูณ การหาร และการยกกำลังง่ายขึ้นเป็นหลัก

ยังมีกรณีพิเศษอีกอย่างที่สำคัญ: จำนวนเชิงซ้อนศูนย์มีมอดูลัสเป็น $0$ แต่อาร์กิวเมนต์ของมันไม่ได้ถูกนิยามในแบบปกติ ดังนั้นรูปเชิงขั้วจึงมักใช้กับจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เป็นศูนย์

จำนวนเชิงซ้อนถูกนำไปใช้เมื่อไร

จำนวนเชิงซ้อนใช้ในการแก้สมการพหุนาม อธิบายการหมุนและการสั่น และสร้างแบบจำลองระบบในวิศวกรรมและฟิสิกส์ มันปรากฏในวงจรไฟฟ้ากระแสสลับ การประมวลผลสัญญาณ ทฤษฎีการควบคุม และกลศาสตร์ควอนตัม

แม้ว่าคุณอาจพบมันครั้งแรกในวิชาพีชคณิต แต่มันไม่ได้เป็นแค่กลเม็ดเชิงสัญลักษณ์เท่านั้น จำนวนเชิงซ้อนเป็นวิธีที่กะทัดรัดในการอธิบายรูปแบบที่เกี่ยวข้องทั้งขนาดและมุม

ลองแก้โจทย์ที่คล้ายกัน

ลองเขียน $-1+i$ ให้อยู่ในรูปเชิงขั้ว หามอดูลัสของมัน เลือกอาร์กิวเมนต์จากควอดแรนต์ที่ถูกต้อง จากนั้นยกกำลังสองผลลัพธ์และแปลงกลับเป็นรูปมาตรฐานเพื่อตรวจคำตอบของคุณ