微积分公式汇总

为了方便想要快速查阅微积分公式的朋友，我们先将最核心的形式总结在一起。简单来说，微分研究的是“瞬时的变化率”，而积分研究的是“累积的总量”。初学者首先需要掌握的是多项式、三角函数、指数函数和对数函数的各项基本公式。

如果只是死记硬背，在实际运用时很容易卡住。因此，最实用的方法是将公式与其“适用形式”以及“例外情况”结合起来记忆。特别是在积分中，$n = -1$ 是一个例外；而在微分中，乘积、商以及复合函数则有不同的计算规则。

微积分公式快速概览

如果你时间紧迫，先看这部分就足够了。

微分基本公式

$\frac{d}{dx} c = 0$

$\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}$

$\frac{d}{dx} \left(af(x) + bg(x)\right) = af'(x) + bg'(x)$

这里 $a$, $b$, $c$ 是常数。多项式可以对每一项分别进行微分。

对于乘积、商或复合函数，请使用以下公式：

$\frac{d}{dx} \left(f(x)g(x)\right) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$

$\frac{d}{dx} \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}, \quad g(x) \ne 0$

此外，当函数呈嵌套结构时，需要使用链式法则（Chain Rule）。

$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)$

在处理像 $(2x+1)^5$ 或 $\sin(3x)$ 这样的嵌套形式时，链式法则是必不可少的。

积分基本公式

$\int c \, dx = cx + C$

$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \ne -1$

$\int \left(af(x) + bg(x)\right)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx$

$\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$

在做积分时，很容易漏掉最后的 $+C$，所以在计算不定积分时，请务必记得加上它。

常用微分公式

以下是出现频率最高的基本形式：

$\frac{d}{dx} \sin x = \cos x$

$\frac{d}{dx} \cos x = -\sin x$

$\frac{d}{dx} e^x = e^x$

$\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}, \quad x > 0$

关于 $\ln x$ 的微分公式，在实数范围内，当 $x > 0$ 时可以直接使用。将定义域一起记住可以避免混淆。

常用积分公式

将基本函数的不定积分与微分成对记忆，会更容易理解且不易出错。

$\int e^x \, dx = e^x + C$

$\int \sin x \, dx = -\cos x + C$

$\int \cos x \, dx = \sin x + C$

这三个公式非常容易出现正负号错误。如果不确定，可以通过对结果进行微分，看是否能还原回原函数来验证。

通过一个例题理解公式运作

我们来看这个式子：

$f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1$

因为它是一个多项式，所以微分和积分都可以按项分别处理。

首先进行微分：

$f'(x) = 6x^2 - 6x + 4$

观察规律，每一项都是“指数减 1，并将原指数乘在前面”，这样更容易记忆。

接着对同一个式子进行不定积分：

$\int \left(2x^3 - 3x^2 + 4x - 1\right)\,dx = \frac{1}{2}x^4 - x^3 + 2x^2 - x + C$

通过这个例子可以看到：微分使指数降低 1，而积分使指数增加 1。不过，由于积分带有 $+C$，它并不是完全 1 对 1 的逆运算，而应该理解为“在常数范围内存在一定宽度的逆运算”。

微积分公式中的常见错误

1. 直接将 $n = -1$ 代入 $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$。实际上 $1/x$ 应该是 $\ln|x| + C$。
2. 在处理像 $(2x+1)^5$ 这样的复合函数时，只微分了外层而忘记乘以内层的微分。这是链式法则中最典型的错误。
3. 积分时漏掉 $+C$。在不定积分中，这是必须的。
4. 将 $\int \sin x \, dx$ 和 $\int \cos x \, dx$ 的正负号搞反。迷茫时，请尝试通过微分来验证。
5. 在需要使用乘积微分法或商微分法的情况下，随意将各项分开微分。乘积和商的规则与求和完全不同。

公式在什么时候使用？

微分公式通常用于求解切线斜率、速度、加速度以及寻找函数的最大值和最小值。积分公式则常用于计算面积、移动距离或某个量的累积值。

也就是说，微积分公式不仅仅是计算表，它们是我们在“当前如何变化”与“累积了多少”之间切换的工具。有了这个视角，选择哪个公式就会变得非常自然。

尝试自我练习

请尝试自行对 $f(x) = 3x^4 - 2x + 7$ 进行微分，然后对同一个式子进行不定积分。当你熟练掌握多项式公式后，可以尝试微分 $(3x+1)^4$，通过实践链式法则的适用场景来深化理解。

如果你想尝试更多题目，可以找一些包含三角函数或复合函数的表达式，练习如何自行判断该使用哪个公式。