สรุปสูตรแคลคูลัส (อนุพันธ์และปริพันธ์)

สำหรับใครที่ต้องการเช็กสูตรแคลคูลัสแบบด่วนๆ เราได้รวบรวมรูปแบบที่จำเป็นไว้ให้ก่อนเลยครับ การหาอนุพันธ์ (Differentiation) คือการดูว่า "ณ จุดนั้นมีการเปลี่ยนแปลงเท่าไหร่" ส่วนการอินทิเกรต (Integration) คือการดูว่า "มีการสะสมเพิ่มขึ้นมาเท่าไหร่" ซึ่งสูตรพื้นฐานที่ควรจำให้แม่นคือ พหุนาม, ฟังก์ชันตรีโกณมิติ, ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง และฟังก์ชันลอการิทึมครับ

ถ้าท่องจำอย่างเดียวอาจจะสับสนเวลาเลือกใช้ ดังนั้น วิธีที่ใช้งานได้จริงคือการดู "สูตรนี้ใช้กับรูปทรงไหน" ควบคู่ไปกับ "มีข้อยกเว้นตรงไหนบ้าง" โดยเฉพาะในการอินทิเกรตที่ $n = -1$ เป็นข้อยกเว้น และในการหาอนุพันธ์จะมีกฎเฉพาะสำหรับฟังก์ชันคูณ ฟังก์ชันหาร และฟังก์ชันคอมโพสิท (Composite Function) ครับ

เริ่มดูสรุปสูตรแคลคูลัส

ถ้าคุณรีบ ให้เริ่มดูจากรูปแบบเหล่านี้ก็เพียงพอแล้วครับ

สูตรพื้นฐานการหาอนุพันธ์ (Differentiation)

$\frac{d}{dx} c = 0$

$\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}$

$\frac{d}{dx} \left(af(x) + bg(x)\right) = af'(x) + bg'(x)$

โดยที่ $a$, $b$, $c$ คือค่าคงที่ สำหรับพหุนาม เราสามารถหาอนุพันธ์แยกทีละพจน์ได้เลยครับ

ส่วนกรณีที่เป็นผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันคอมโพสิท ให้ใช้สูตรต่อไปนี้:

$\frac{d}{dx} \left(f(x)g(x)\right) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$

$\frac{d}{dx} \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}, \quad g(x) \ne 0$

นอกจากนี้ หากฟังก์ชันมีการซ้อนกัน (Nested Function) จำเป็นต้องใช้ กฎลูกโซ่ (Chain Rule) ครับ

$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)$

ในรูปแบบที่ซ้อนกันอย่าง $(2x+1)^5$ หรือ $\sin(3x)$ เราไม่สามารถละเลยการใช้กฎลูกโซ่ได้

สูตรพื้นฐานการอินทิเกรต (Integration)

$\int c \, dx = cx + C$

$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \ne -1$

$\int \left(af(x) + bg(x)\right)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx$

$\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$

ในการอินทิเกรต หลายคนมักลืมใส่ $+C$ ในตอนท้าย ดังนั้นสำหรับการอินทิเกรตแบบไม่จำกัดเขต (Indefinite Integral) ให้ท่องไว้เลยว่าต้องใส่ทุกครั้งครับ

สูตรอนุพันธ์ที่ใช้บ่อย

รูปแบบพื้นฐานที่พบบ่อยมีดังนี้ครับ:

$\frac{d}{dx} \sin x = \cos x$

$\frac{d}{dx} \cos x = -\sin x$

$\frac{d}{dx} e^x = e^x$

$\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}, \quad x > 0$

สำหรับสูตรอนุพันธ์ของ $\ln x$ ในขอบเขตของจำนวนจริง จะใช้ได้ทันทีเมื่อเป็น $x > 0$ การจำรวมไปถึงโดเมนของฟังก์ชันจะช่วยให้ไม่สับสนครับ

สูตรอินทิเกรตที่ใช้บ่อย

การจำการอินทิเกรตแบบไม่จำกัดเขตของฟังก์ชันพื้นฐานควบคู่ไปกับสูตรอนุพันธ์ จะช่วยให้จำได้ง่ายขึ้นและไม่สับสนครับ

$\int e^x \, dx = e^x + C$

$\int \sin x \, dx = -\cos x + C$

$\int \cos x \, dx = \sin x + C$

สามสูตรนี้มักจะพลาดเรื่องเครื่องหมายบวกลบ หากไม่แน่ใจ ให้ลองดิฟ (Differentiate) ผลลัพธ์กลับไปดูว่าได้ค่าเท่ากับฟังก์ชันเริ่มต้นหรือไม่

ดูการทำงานของสูตรผ่านตัวอย่าง 1 ข้อ

ลองพิจารณา $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1$

เนื่องจากเป็นพหุนาม เราจึงสามารถหาอนุพันธ์และอินทิเกรตแยกทีละพจน์ได้

เริ่มจากการหาอนุพันธ์ (Diff):

$f'(x) = 6x^2 - 6x + 4$

วิธีคิดง่ายๆ คือ "ตบเลขชี้กำลังลงมาคูณด้านหน้า แล้วลดเลขชี้กำลังลง 1" จะทำให้ติดตามการคำนวณได้ง่ายขึ้นครับ

ต่อมา ลองอินทิเกรต (Integrate) สมการเดิม:

$\int \left(2x^3 - 3x^2 + 4x - 1\right)\,dx = \frac{1}{2}x^4 - x^3 + 2x^2 - x + C$

สิ่งที่อยากให้สังเกตจากตัวอย่างนี้คือ ในการหาอนุพันธ์ เลขชี้กำลังจะลดลง 1 แต่ในการอินทิเกรต เลขชี้กำลังจะเพิ่มขึ้น 1 อย่างไรก็ตาม เนื่องจากการอินทิเกรตจะมี $+C$ ติดมาด้วย ดังนั้นมันจึงไม่ใช่การดำเนินการย้อนกลับแบบ 1 ต่อ 1 เป๊ะๆ แต่เป็น "การดำเนินการย้อนกลับที่มีช่วงของค่าคงที่" นั่นเองครับ

จุดที่มักพลาดบ่อยในสูตรแคลคูลัส

1. การแทนค่า $n = -1$ ลงใน $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ โดยตรง ซึ่งจริงๆ แล้ว $1/x$ คือ $\ln|x| + C$
2. ในฟังก์ชันคอมโพสิทอย่าง $(2x+1)^5$ มักจะดิฟแค่ตัวนอกแล้วลืมคูณดิฟตัวใน ซึ่งเป็นข้อผิดพลาดคลาสสิกของกฎลูกโซ่
3. ลืมใส่ $+C$ ในการอินทิเกรต ซึ่งจำเป็นมากสำหรับการอินทิเกรตแบบไม่จำกัดเขต
4. สลับเครื่องหมายระหว่าง $\int \sin x \, dx$ และ $\int \cos x \, dx$ หากไม่แน่ใจ ให้ลองดิฟกลับเพื่อเช็กคำตอบ
5. ในกรณีที่ต้องใช้กฎการดิฟผลคูณหรือผลหาร แต่กลับไปดิฟแยกทีละพจน์ดื้อๆ ซึ่งกฎของผลคูณและผลหารนั้นแตกต่างจากกฎของการบวกครับ

จะใช้สูตรเหล่านี้เมื่อไหร่?

เราใช้สูตรอนุพันธ์เมื่อต้องการหา ความชันของเส้นสัมผัส, ความเร็ว, ความเร่ง หรือหาค่าสูงสุดและต่ำสุด ส่วนสูตรอินทิเกรตจะใช้บ่อยในโจทย์ที่ต้องการหา พื้นที่, ระยะทางที่เคลื่อนที่ได้ หรือการสะสมของปริมาณต่างๆ

สรุปคือ สูตรแคลคูลัสไม่ใช่แค่ตารางคำนวณ แต่เป็นเครื่องมือที่ใช้เดินทางไปมาระหว่าง "ตอนนี้เปลี่ยนไปอย่างไร" กับ "สะสมมาได้เท่าไหร่แล้ว" หากมองในมุมนี้ การเลือกใช้สูตรจะดูเป็นธรรมชาติมากขึ้นครับ

ลองฝึกด้วยตัวเอง

ลองนำ $f(x) = 3x^4 - 2x + 7$ มาหาอนุพันธ์ด้วยตัวเอง แล้วลองอินทิเกรตผลลัพธ์นั้นกลับคืนดูครับ เมื่อคล่องกับสูตรพหุนามแล้ว ให้ลองต่อด้วยการหาอนุพันธ์ของ $(3x+1)^4$ เพื่อฝึกใช้กฎลูกโซ่ จะช่วยให้เข้าใจได้ลึกซึ้งขึ้น

หากอยากลองโจทย์อื่นๆ เพิ่มเติม ให้ลองหาโจทย์ที่มีฟังก์ชันตรีโกณมิติหรือฟังก์ชันคอมโพสิท แล้วฝึกวิเคราะห์ดูว่าต้องใช้สูตรไหนในการแก้โจทย์ครับ