미분적분 공식 일람

미분적분 공식을 빠르게 확인하고 싶은 분들을 위해, 우선 꼭 필요한 형태부터 정리해 드리겠습니다. 미분은 '그 순간에 얼마나 변하는가'를, 적분은 '얼마나 쌓였는가'를 보는 계산입니다. 가장 먼저 익혀야 할 것은 다항함수, 삼각함수, 지수함수, 로그함수의 기본 공식입니다.

단순히 암기만 하면 실제 문제에서 적용할 때 막히기 쉬우므로, 공식은 '어떤 형태에 사용할 수 있는지'와 '어떤 예외가 있는지'를 세트로 공부하는 것이 실용적입니다. 특히 적분에서는 $n = -1$이 예외이며, 미분에서는 곱·몫·합성함수에 별도의 규칙이 적용됩니다.

미분적분 공식 일람 빠르게 보기

급하게 확인해야 한다면, 우선 이 내용만 보셔도 충분합니다.

미분의 기본 공식

$\frac{d}{dx} c = 0$

$\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}$

$\frac{d}{dx} \left(af(x) + bg(x)\right) = af'(x) + bg'(x)$

여기서 $a$, $b$, $c$은 상수입니다. 다항함수는 항별로 미분할 수 있습니다.

곱이나 몫, 합성함수에서는 다음 공식을 사용합니다.

$\frac{d}{dx} \left(f(x)g(x)\right) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$

$\frac{d}{dx} \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}, \quad g(x) \ne 0$

또한, 함수가 중첩되어 있는 경우에는 연쇄 법칙(Chain Rule)이 필요합니다.

$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)$

$(2x+1)^5$나 $\sin(3x)$와 같은 중첩된 형태에서는 연쇄 법칙을 빼놓아서는 안 됩니다.

적분의 기본 공식

$\int c \, dx = cx + C$

$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \ne -1$

$\int \left(af(x) + bg(x)\right)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx$

$\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$

적분에서는 마지막에 $+C$을 빼먹기 쉬우므로, 부정적분에서는 항상 붙여준다고 생각하고 계산하세요.

자주 사용하는 미분 공식

자주 나오는 기본 형태는 다음과 같습니다.

$\frac{d}{dx} \sin x = \cos x$

$\frac{d}{dx} \cos x = -\sin x$

$\frac{d}{dx} e^x = e^x$

$\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}, \quad x > 0$

$\ln x$의 미분 공식은 실수 범위에서 $x > 0$일 때 그대로 사용합니다. 정의역까지 함께 외워두면 헷갈리지 않습니다.

자주 사용하는 적분 공식

기본 함수의 부정적분도 미분과 짝을 지어 외우면 훨씬 수월합니다.

$\int e^x \, dx = e^x + C$

$\int \sin x \, dx = -\cos x + C$

$\int \cos x \, dx = \sin x + C$

이 세 가지는 부호 실수가 잦은 부분이므로, 헷갈린다면 다시 미분해서 원래 식으로 돌아가는지 확인해 보세요.

공식이 어떻게 적용되는지 예제로 보기

$f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1$

을 생각해 봅시다. 다항함수이므로 미분과 적분 모두 항별로 처리할 수 있습니다.

먼저 미분하면,

$f'(x) = 6x^2 - 6x + 4$

이 됩니다. 각 항에서 '지수를 하나 내리고, 원래 지수를 앞에 곱한다'고 생각하면 따라가기 쉽습니다.

다음으로 같은 식을 부정적분하면,

$\int \left(2x^3 - 3x^2 + 4x - 1\right)\,dx = \frac{1}{2}x^4 - x^3 + 2x^2 - x + C$

이 됩니다.

이 예제에서 주목할 점은 미분에서는 지수가 하나 내려가고, 적분에서는 지수가 하나 올라간다는 흐름입니다. 다만 적분에는 $+C$가 붙기 때문에, 완전히 1대1의 역연산이라기보다 '상수만큼의 폭이 있는 역연산'이라고 생각하는 것이 자연스럽습니다.

미분적분 공식에서 자주 하는 실수

1. $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$에 그대로 $n = -1$을 대입하는 것. $1/x$는 $\ln|x| + C$입니다.
2. $(2x+1)^5$와 같은 합성함수에서 겉미분만 하고 속미분을 곱하는 것을 잊는 것. 이는 연쇄 법칙의 전형적인 실수입니다.
3. 적분에서 $+C$를 빼먹는 것. 부정적분에서는 반드시 필요합니다.
4. $\int \sin x \, dx$과 $\int \cos x \, dx$의 부호를 반대로 쓰는 것. 헷갈리면 미분해서 돌아오는지 확인하세요.
5. 곱의 미분법이나 몫의 미분법이 필요한 상황에서 각 항을 마음대로 따로 미분하는 것. 곱과 몫은 합의 미분과는 규칙이 다릅니다.

언제 어떤 공식을 사용할까?

미분 공식은 접선의 기울기, 속도와 가속도, 최댓값과 최솟값을 구하는 문제에서 사용합니다. 적분 공식은 넓이, 이동 거리, 어떤 양의 누적값을 구하는 문제에서 자주 사용합니다.

즉, 미분적분 공식은 단순한 계산표가 아니라 '지금 어떻게 변하는가'와 '얼마나 쌓였는가'를 오가기 위한 도구입니다. 이렇게 관점을 가지면 어떤 공식을 선택해야 할지가 훨씬 자연스럽게 다가올 것입니다.

직접 연습해 보기

$f(x) = 3x^4 - 2x + 7$를 직접 미분해 보고, 그 후에 같은 식을 부정적분해 보세요. 다항함수 공식이 익숙해졌다면, 다음으로 $(3x+1)^4$를 미분하며 연쇄 법칙이 필요한 경우까지 확인해 보시면 이해가 더 깊어질 것입니다.

다른 문제로도 연습하고 싶다면, 다음에는 삼각함수나 합성함수가 포함된 식에서 어떤 공식이 필요한지 스스로 판단해 보세요.