Formelsammlung für Differential- und Integralrechnung

Für alle, die schnell die wichtigsten Formeln der Differential- und Integralrechnung nachschlagen wollen, haben wir hier die essenziellen Grundlagen zusammengefasst. Vereinfacht gesagt: Die Differenzierung (Ableitung) betrachtet, „wie stark sich etwas in einem bestimmten Moment ändert“, während die Integration betrachtet, „wie viel sich insgesamt angesammelt hat“. Zu Beginn solltest du dir die Grundformeln für Polynome, trigonometrische Funktionen, Exponential- und Logarithmusfunktionen einprägen.

Reines Auswendiglernen führt oft dazu, dass man bei der Anwendung stockt. Es ist daher praxisnäher, die Formeln immer im Paket aus „Wann kann ich sie anwenden?“ und „Wo gibt es Ausnahmen?“ zu betrachten. Besonders bei der Integration ist $n = -1$ eine wichtige Ausnahme, und bei der Differenzierung gibt es spezielle Regeln für Produkte, Quotienten und zusammengesetzte Funktionen.

Schneller Überblick: Die wichtigsten Formeln

Wenn es schnell gehen muss, reichen diese Grundformen völlig aus.

Grundformeln der Differenzierung

$\frac{d}{dx} c = 0$

$\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}$

$\frac{d}{dx} \left(af(x) + bg(x)\right) = af'(x) + bg'(x)$

Hierbei sind $a$, $b$ und $c$ Konstanten. Polynome können einfach Glied für Glied abgeleitet werden.

Für Produkte, Quotienten und zusammengesetzte Funktionen nutzt man Folgendes:

$\frac{d}{dx} \left(f(x)g(x)\right) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$

$\frac{d}{dx} \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}, \quad g(x) \ne 0$

Wenn Funktionen ineinander verschachtelt sind, ist zudem die Kettenregel erforderlich:

$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)$

Bei verschachtelten Formen wie $(2x+1)^5$ oder $\sin(3x)$ kommt man nicht ohne die Kettenregel aus.

Grundformeln der Integration

$\int c \, dx = cx + C$

$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \ne -1$

$\int \left(af(x) + bg(x)\right)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx$

$\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$

Bei der Integration wird das abschließende $+C$ oft vergessen. Gehe bei unbestimmten Integralen daher immer davon aus, dass es hinzugefügt werden muss.

Häufig verwendete Ableitungsregeln

Die am häufigsten vorkommenden Grundformen sind:

$\frac{d}{dx} \sin x = \cos x$

$\frac{d}{dx} \cos x = -\sin x$

$\frac{d}{dx} e^x = e^x$

$\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}, \quad x > 0$

Die Ableitungsformel für $\ln x$ wird im Bereich der reellen Zahlen direkt angewendet, wenn $x > 0$ gilt. Wenn du dir die Formel zusammen mit dem Definitionsbereich merkst, vermeidest du Verwirrungen.

Häufig verwendete Integrationsregeln

Es ist einfacher, die unbestimmten Integrale der Grundfunktionen als Gegenstück zur Differenzierung zu lernen.

$\int e^x \, dx = e^x + C$

$\int \sin x \, dx = -\cos x + C$

$\int \cos x \, dx = \sin x + C$

Hier unterlaufen oft Vorzeichenfehler. Wenn du unsicher bist, leite das Ergebnis einfach ab, um zu prüfen, ob du wieder zur ursprünglichen Funktion zurückkommst.

Funktionsweise an einem Beispiel

Betrachten wir folgende Funktion:

$f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1$

Da es sich um ein Polynom handelt, können wir sowohl die Ableitung als auch das Integral Glied für Glied bearbeiten.

Die Ableitung ergibt:

$f'(x) = 6x^2 - 6x + 4$

Es ist hilfreich, sich dabei zu merken: „Den Exponenten um eins senken und den ursprünglichen Exponenten als Faktor voranstellen“.

Das unbestimmte Integral derselben Funktion ist:

$\int \left(2x^3 - 3x^2 + 4x - 1\right)\,dx = \frac{1}{2}x^4 - x^3 + 2x^2 - x + C$

An diesem Beispiel wird deutlich: Bei der Differenzierung sinkt der Exponent um eins, bei der Integration steigt er um eins. Da beim Integral jedoch $+C$ hinzukommt, ist es keine perfekte 1:1-Umkehrung, sondern eher eine „Umkehrung mit einer Spielraum-Konstante“.

Häufige Fehler bei Differential- und Integralrechnung

1. $n = -1$ direkt in $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ einzusetzen. $1/x$ ist eigentlich $\ln|x| + C$.
2. Bei zusammengesetzten Funktionen wie $(2x+1)^5$ nur die äußere Funktion abzuleiten und zu vergessen, die innere Ableitung zu multiplizieren. Dies ist der klassische Fehler bei der Kettenregel.
3. Das $+C$ bei Integralen zu vergessen. Bei unbestimmten Integralen ist es zwingend erforderlich.
4. Die Vorzeichen von $\int \sin x \, dx$ und $\int \cos x \, dx$ zu vertauschen. Im Zweifel: Ableiten und prüfen!
5. Bei Produkten oder Quotienten einfach jeden Term einzeln abzuleiten. Für Produkte und Quotienten gelten andere Regeln als für Summen.

Wann wende ich welche Formel an?

Ableitungsformeln nutzt du, um die Steigung einer Tangente, die Geschwindigkeit, die Beschleunigung oder Maxima und Minima zu bestimmen. Integrationsformeln werden häufig verwendet, um Flächeninhalte, zurückgelegte Wege oder die Akkumulation einer bestimmten Menge zu berechnen.

Die Formeln der Analysis sind also nicht bloß Tabellen für Berechnungen. Sie sind Werkzeuge, um zwischen „Wie ändert es sich gerade?“ und „Wie viel hat sich angesammelt?“ hin- und herzuwechseln. Mit dieser Perspektive fällt die Wahl der richtigen Formel viel natürlicher.

Jetzt selbst ausprobieren

Versuche zuerst, $f(x) = 3x^4 - 2x + 7$ selbst abzuleiten und anschließend das unbestimmte Integral derselben Funktion zu bilden. Sobald du dich mit Polynomen sicher fühlst, probiere es mit $(3x+1)^4$, um zu sehen, in welchen Fällen die Kettenregel notwendig wird.

Wenn du weitere Übungen machen möchtest, nimm dir Ausdrücke mit trigonometrischen Funktionen oder zusammengesetzten Funktionen vor und entscheide selbst, welche Formel du anwenden musst.