Daftar Rumus Kalkulus (Turunan dan Integral)

Bagi kamu yang ingin cepat mengecek rumus-rumus kalkulus, berikut adalah ringkasan bentuk-bentuk yang paling dibutuhkan. Turunan adalah perhitungan untuk melihat "seberapa besar perubahan pada satu titik", sedangkan integral adalah perhitungan untuk melihat "seberapa banyak yang terakumulasi". Hal pertama yang harus kamu kuasai adalah rumus dasar untuk polinomial, fungsi trigonometri, fungsi eksponensial, dan fungsi logaritma.

Jika hanya menghafal mati, kamu mungkin akan bingung saat harus menerapkannya. Jadi, cara yang lebih praktis adalah mempelajari rumus bersamaan dengan "kapan rumus ini digunakan" dan "di mana letak pengecualiannya". Khusus untuk integral, $n = -1$ adalah sebuah pengecualian, dan untuk turunan, terdapat aturan berbeda untuk perkalian, pembagian, serta fungsi komposisi.

Intip Daftar Rumus Kalkulus Terlebih Dahulu

Jika kamu sedang terburu-buru, melihat bagian ini saja sudah cukup.

Rumus Dasar Turunan

$\frac{d}{dx} c = 0$

$\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}$

$\frac{d}{dx} \left(af(x) + bg(x)\right) = af'(x) + bg'(x)$

Di sini, $a$, $b$, dan $c$ adalah konstanta. Polinomial dapat diturunkan suku demi suku.

Untuk perkalian, pembagian, atau fungsi komposisi, gunakan rumus berikut:

$\frac{d}{dx} \left(f(x)g(x)\right) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$

$\frac{d}{dx} \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}, \quad g(x) \ne 0$

Selain itu, jika fungsi berada di dalam fungsi lain (nested), kamu memerlukan aturan rantai (chain rule).

$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)$

Untuk bentuk komposisi seperti $(2x+1)^5$ atau $\sin(3x)$, aturan rantai tidak boleh dilewatkan.

Rumus Dasar Integral

$\int c \, dx = cx + C$

$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \ne -1$

$\int \left(af(x) + bg(x)\right)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx$

$\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$

Dalam integral, bagian $+C$ di akhir sering kali terlupakan. Jadi, saat mengerjakan integral tak tentu, biasakan untuk selalu menambahkannya.

Rumus Turunan yang Sering Digunakan

Berikut adalah bentuk-bentuk dasar yang paling sering muncul:

$\frac{d}{dx} \sin x = \cos x$

$\frac{d}{dx} \cos x = -\sin x$

$\frac{d}{dx} e^x = e^x$

$\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}, \quad x > 0$

Untuk rumus turunan $\ln x$, dalam rentang bilangan riil, gunakan rumus tersebut saat $x > 0$. Kamu tidak akan bingung jika menghafalnya bersamaan dengan domain fungsinya.

Rumus Integral yang Sering Digunakan

Integral tak tentu dari fungsi dasar akan lebih mudah diingat jika dipelajari berpasangan dengan turunannya.

$\int e^x \, dx = e^x + C$

$\int \sin x \, dx = -\cos x + C$

$\int \cos x \, dx = \sin x + C$

Ketiga rumus ini sering terjadi kesalahan tanda (positif/negatif). Jika ragu, cobalah turunkan hasilnya untuk melihat apakah kembali ke bentuk semula.

Melihat Cara Kerja Rumus melalui Satu Contoh

Mari kita tinjau:

$f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1$

Karena ini adalah polinomial, baik turunan maupun integral dapat dikerjakan suku demi suku.

Pertama, jika diturunkan:

$f'(x) = 6x^2 - 6x + 4$

Akan lebih mudah jika kamu membayangkannya sebagai "menurunkan eksponen satu angka, lalu mengalikan angka eksponen sebelumnya ke depan".

Selanjutnya, jika persamaan yang sama diintegralkan secara tak tentu:

$\int \left(2x^3 - 3x^2 + 4x - 1\right)\,dx = \frac{1}{2}x^4 - x^3 + 2x^2 - x + C$

Yang ingin diperlihatkan dari contoh ini adalah alurnya: pada turunan eksponen turun satu angka, sedangkan pada integral eksponen naik satu angka. Namun, karena integral memiliki $+C$, ini bukan operasi kebalikan yang benar-benar 1 banding 1, melainkan "operasi kebalikan dengan rentang sebesar konstanta".

Kesalahan Umum dalam Rumus Kalkulus

1. Memasukkan $n = -1$ secara langsung ke dalam $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. Ingat bahwa $1/x$ adalah $\ln|x| + C$.
2. Pada fungsi komposisi seperti $(2x+1)^5$, hanya menurunkan bagian luar dan lupa mengalikan dengan turunan bagian dalam. Ini adalah kesalahan klasik dalam aturan rantai.
3. Melupakan $+C$ saat melakukan integral. Ini wajib ada dalam integral tak tentu.
4. Terbalik dalam menentukan tanda positif/negatif antara $\int \sin x \, dx$ dan $\int \cos x \, dx$. Jika ragu, cek kembali dengan menurunkannya.
5. Menurunkan setiap suku secara terpisah pada situasi yang membutuhkan aturan perkalian atau pembagian. Perkalian dan pembagian memiliki aturan yang berbeda dengan penjumlahan.

Kapan Menggunakan Rumus Ini?

Rumus turunan digunakan untuk mencari kemiringan garis singgung, kecepatan, percepatan, serta nilai maksimum dan minimum. Rumus integral sering digunakan untuk mencari luas daerah, jarak tempuh, atau akumulasi dari suatu jumlah.

Singkatnya, rumus kalkulus bukan sekadar tabel perhitungan. Ini adalah alat untuk berpindah antara "bagaimana perubahan saat ini" dan "berapa banyak yang telah terkumpul". Dengan sudut pandang ini, pemilihan rumus akan terasa lebih alami.

Coba Sendiri Selanjutnya

Cobalah turunkan $f(x) = 3x^4 - 2x + 7$ sendiri, lalu coba integralkan kembali persamaan tersebut. Jika sudah stabil dengan rumus polinomial, cobalah turunkan $(3x+1)^4$ untuk memastikan pemahamanmu tentang kasus yang memerlukan aturan rantai.

Jika ingin mencoba soal lain, pilihlah persamaan yang mengandung fungsi trigonometri atau fungsi komposisi, lalu tentukan sendiri rumus mana yang perlu digunakan.