Λίστα Τύπων Διαφορικού και Ολοκληρωτικού Λογισμού

Για όσους θέλουν να ελέγξουν γρήγορα τους τύπους του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού, ξεκινάμε με τα πιο απαραίτητα. Η παραγώγιση μας δείχνει «πόσο αλλάζει κάτι σε μια συγκεκριμένη στιγμή», ενώ η ολοκλήρωση μας δείχνει «πόσο συσσωρεύτηκε κάτι». Οι πρώτοι τύποι που πρέπει να μάθετε αφορούν τα πολυώνυμα, τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις, τις εκθετικές και τις λογαριθμικές συναρτήσεις.

Αν βασιστείτε μόνο στην αποστήθιση, μπορεί να δυσκολευτείτε στην εφαρμογή τους. Γι' αυτό, είναι πιο πρακτικό να συνδέετε κάθε τύπο με το «σε ποιες μορφές εφαρμόζεται» και «πού υπάρχουν εξαιρέσεις». Συγκεκριμένα, στο ολοκλήρωμα η $n = -1$ αποτελεί εξαίρεση, ενώ στην παραγώγιση υπάρχουν ξεχωριστοί κανόνες για το γινόμενο, το πηλίκο και τις σύνθετες συναρτήσεις.

Γρήγορη ματιά στους τύπους

Αν βιάζεστε, αυτές οι βασικές μορφές είναι αρκετές για να ξεκινήσετε.

Βασικοί Τύποι Παραγώγων

$\frac{d}{dx} c = 0$

$\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}$

$\frac{d}{dx} \left(af(x) + bg(x)\right) = af'(x) + bg'(x)$

Εδώ τα $a$, $b$, $c$ είναι σταθερές. Τα πολυώνυμα μπορούν να παραγωγιστούν όρο προς όρο.

Για γινόμενα, πηλίκα ή σύνθετες συναρτήσεις, χρησιμοποιούμε τα εξής:

$\frac{d}{dx} \left(f(x)g(x)\right) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$

$\frac{d}{dx} \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}, \quad g(x) \ne 0$

Επιπλέον, όταν μια συνάρτηση είναι «nested» (η μία μέσα στην άλλη), χρειαζόμαστε τον κανόνα της αλυσίδας (chain rule).

$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)$

Σε μορφές όπως οι $(2x+1)^5$ ή $\sin(3x)$, ο κανόνας της αλυσίδας είναι απαραίτητος.

Βασικοί Τύποι Ολοκληρωμάτων

$\int c \, dx = cx + C$

$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \ne -1$

$\int \left(af(x) + bg(x)\right)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx$

$\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$

Στο ολοκλήρωμα, είναι πολύ εύκολο να ξεχάσουμε τη σταθερά $+C$ στο τέλος, οπότε θεωρήστε ότι την προσθέτετε πάντα στα andefinite (αόριστα) ολοκληρώματα.

Συνηθισμένοι Τύποι Παραγώγων

Οι πιο συνηθισμένες βασικές μορφές είναι οι εξής:

$\frac{d}{dx} \sin x = \cos x$

$\frac{d}{dx} \cos x = -\sin x$

$\frac{d}{dx} e^x = e^x$

$\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}, \quad x > 0$

Ο τύπος παραγώγισης για το $\ln x$, στο πεδίο των πραγματικών αριθμών, χρησιμοποιείται απευθείας όταν $x > 0$. Αν θυμάστε και το πεδίο ορισμού, θα αποφύγετε τη σύγχυση.

Συνηθισμένοι Τύποι Ολοκληρωμάτων

Τα αόριστα ολοκληρώματα των βασικών συναρτήσεων είναι πιο εύκολο να αποηθμηθούν αν τα συνδέσετε με τις αντίστοιχες παραγώγους.

$\int e^x \, dx = e^x + C$

$\int \sin x \, dx = -\cos x + C$

$\int \cos x \, dx = \sin x + C$

Σε αυτά τα τρία τα λάθη στα πρόσημα είναι συχνά. Αν μπερδέψετε κάτι, δοκιμάστε να παραγωγίσετε το αποτέλεσμα για να δείτε αν επιστρέφετε στη αρχική συνάρτηση.

Πώς λειτουργούν οι τύποι: Ένα παράδειγμα

Ας εξετάσουμε τη συνάρτηση:

$f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1$

Επειδή είναι πολυώνυμο, μπορούμε να εφαρμόσουμε την παραγώγιση και την ολοκλήρωση όρο προς όρο.

Αρχικά, η παράγωγος είναι:

$f'(x) = 6x^2 - 6x + 4$

Είναι πιο εύκολο να το σκεφτείτε ως: «κατεβάζω τον εκθέτη κατά ένα και τον πολλαπλασιάζω μπροστά».

Στη συνέχεια, το αόριστο ολοκλήρωμα της ίδιας έκφρασης είναι:

$\int \left(2x^3 - 3x^2 + 4x - 1\right)\,dx = \frac{1}{2}x^4 - x^3 + 2x^2 - x + C$

Σε αυτό το παράδειγμα, βλέπουμε ότι στην παραγώγιση ο εκθέτης μειώνεται κατά ένα, ενώ στην ολοκλήρωση αυξάνεται κατά ένα. Ωστόσο, επειδή στο ολοκλήρωμα προστίθεται η $+C$, δεν πρόκειται για μια απόλυτα αντίστροφη λειτουργία 1 προς 1, αλλά για μια «αντίστροφη λειτουργία με ένα εύρος σταθεράς».

Συνηθισμένα λάθη στους τύπους

1. Η απευθείας τοποθέτηση του $n = -1$ στο $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. Το $1/x$ είναι $\ln|x| + C$.
2. Σε σύνθετες συναρτήσεις όπως η $(2x+1)^5$, το να παραγωγίσετε μόνο το εξωτερικό τμήμα και να ξεχάσετε να πολλαπλασιάσετε με την παράγογο του εσωτερικού. Αυτό είναι το κλασικό λάθος στον κανόνα της αλυσίδας.
3. Η παράλειψη της $+C$ στα ολοκληρώματα. Είναι απαραίτητη για κάθε αόριστο ολοκλήρωμα.
4. Η αντιστροφή των προσήμων στο $\int \sin x \, dx$ και $\int \cos x \, dx$. Αν δεν είστε σίγουροι, παραγωγίστε για να ελέγξετε το αποτέλεσμα.
5. Η παραγώγιση κάθε όρου ξεχωριστά σε περιπτώσεις όπου απαιτείται ο κανόνας του γινομένου ή του πηλίκου. Τα γινόμενα και τα πηλίκα ακολουθούν διαφορετικούς κανόνες από τα αθροίσματα.

Πότε χρησιμοποιούμε κάθε τύπο

Τους τύπους παραγώγων τους χρησιμοποιούμε για να βρούμε την κλίση μιας εφαπτομένης, την ταχύτητα, την επιτάχυνση ή τα ακρόκοτα (μέγιστο και ελάχιστο) μιας συνάρτησης. Τους τύπους ολοκληρωμάτων τους χρησιμοποιούμε συχνά για να υπολογίσουμε εμβαδά, αποστάσεις ή τη συσσώρευση ενός μεγέθους.

Με άλλα λόγια, οι τύποι αυτοί δεν είναι απλώς ένας πίνακας υπολογισμών. Είναι τα εργαλεία για να μετακινούμαστε ανάμεσα στο «πώς αλλάζει κάτι τώρα» και στο «πόσο συσσωρεύτηκε». Με αυτή την οπτική, η επιλογή του σωστού τύπου γίνεται πολύ πιο φυσική.

Δοκιμάστε το μόνοι σας

Δοκιμάστε να παραγωγίσετε την έκφραση $f(x) = 3x^4 - 2x + 7$ και στη συνέχεια να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμά της. Μόλις νιώθετε σίγουροι με τα πολυώνυμα, δοκιμάστε να παραγωγίσετε την $(3x+1)^4$ για να εξασκηθείτε σε περιπτώσεις που απαιτούν τον κανόνα της αλυσίδας.

Αν θέλετε περισσότερη εξάσκηση, δοκιμάστε εκφράσεις με τριγωνομετρικές ή σύνθετες συναρτήσεις και προσπαθήστε να κρίνετε μόνοι σας ποιος τύπος είναι ο κατάλληλος.