Wahrheitstabellen — UND, ODER, NICHT, XOR und Implikation

Eine Wahrheitstabelle zeigt jede mögliche Kombination von Wahrheitswerten für eine Aussage und sagt dir, ob das Endergebnis in jedem Fall wahr oder falsch ist. Wenn du UND, ODER, NICHT, XOR oder Implikation schnell verstehen willst, ist eine Wahrheitstabelle meist der klarste Einstieg.

Die wichtigsten Operatoren auf dieser Seite folgen einer kleinen Menge exakter Regeln:

• $p \land q$ ist nur dann wahr, wenn beide wahr sind.
• $p \lor q$ ist wahr, wenn mindestens eine Aussage wahr ist.
• $\lnot p$ kehrt den Wahrheitswert von $p$ um.
• $p \oplus q$ ist wahr, wenn genau eine der beiden Aussagen wahr ist.
• $p \to q$ ist nur dann falsch, wenn $p$ wahr und $q$ falsch ist.

Wahrheitstabelle für UND, ODER, NICHT, XOR und Implikation

Für zwei Aussagen $p$ und $q$ gibt es vier mögliche Eingabezeilen: $TT$, $TF$, $FT$ und $FF$. Eine vollständige Wahrheitstabelle muss alle vier enthalten.

$p$	$q$	$p \land q$	$p \lor q$	$p \oplus q$	$p \to q$	$\lnot p$
T	T	T	T	F	T	F
T	F	F	T	T	F	F
F	T	F	T	T	T	T
F	F	F	F	F	T	T

Wenn du dir nur eine Wahrheitstabelle merkst, dann diese. Die meisten Einstiegsfragen in die Logik lassen sich darauf zurückführen, eine dieser Spalten richtig zu lesen.

Was die einzelnen Logiksymbole bedeuten

UND bedeutet beide

$p \land q$ ist nur dann wahr, wenn beide Eingaben wahr sind.

Deshalb hat die UND-Spalte genau eine wahre Zeile.

ODER bedeutet mindestens eine

$p \lor q$ ist wahr, wenn eine Eingabe wahr ist oder wenn beide wahr sind.

Das ist die inklusive Bedeutung von ODER. Wenn in einer Aufgabe „das eine oder das andere, aber nicht beides“ gemeint ist, sollte stattdessen XOR verwendet werden.

NICHT kehrt eine Aussage um

$\lnot p$ macht aus wahr falsch und aus falsch wahr.

NICHT unterscheidet sich hier von den anderen Operatoren, weil es auf eine Aussage wirkt und nicht auf zwei Aussagen.

XOR bedeutet genau eine

$p \oplus q$ ist wahr, wenn sich die Eingaben unterscheiden.

Deshalb sind die beiden mittleren Zeilen wahr, und die Zeilen, in denen $p$ und $q$ übereinstimmen, sind falsch.

Implikation hat genau einen falschen Fall

$p \to q$ ist nur dann falsch, wenn $p$ wahr und $q$ falsch ist.

Diese Regel kann sich anfangs seltsam anfühlen, weil Implikation in der Logik nicht dasselbe bedeutet wie „verursacht“ in der Alltagssprache. Sie bedeutet, dass die Aussage „wenn $p$, dann $q$“ nur dann scheitert, wenn $p$ eintritt, aber $q$ nicht.

Durchgerechnetes Beispiel: Warum $p \to q$ nur einmal falsch ist

Angenommen, $p$ bedeutet „Die Zahl ist durch 4 teilbar“ und $q$ bedeutet „Die Zahl ist gerade“.

Betrachte die Aussage

$$p \to q$$

Das bedeutet: Wenn eine Zahl durch $4$ teilbar ist, dann ist sie gerade.

Lies nun die vier logischen Fälle:

• Wenn $p$ wahr und $q$ wahr ist, funktioniert die Aussage.
• Wenn $p$ wahr und $q$ falsch ist, scheitert die Aussage.
• Wenn $p$ falsch ist, gilt die Implikation in der Aussagenlogik als wahr, weil die Aussage nichts über Fälle versprochen hat, in denen die Bedingung nicht eingetreten ist.

Deshalb hat $p \to q$ genau eine falsche Zeile. In diesem Beispiel ist die Behauptung tatsächlich für jede reelle Zahl wahr, weil jedes Vielfache von $4$ gerade ist.

Häufige Fehler bei Wahrheitstabellen

• ODER und XOR verwechseln. Das gewöhnliche ODER schließt den Fall ein, dass beide Eingaben wahr sind.
• Implikation wie alltägliche Verursachung lesen. In einer Wahrheitstabelle ist $p \to q$ durch seine Zeilen definiert, nicht durch eine Geschichte über Ursache und Wirkung.
• Vergessen, jede Eingabekombination aufzulisten. Bei zwei Aussagen muss es vier Zeilen geben.
• NICHT als Operator mit zwei Eingaben behandeln. Es wirkt nur auf eine Aussage.
• Annehmen, dass Wahrheitstabellen nur in der Philosophie oder bei Beweisen vorkommen. Dieselbe Logik erscheint auch in der Booleschen Algebra und in digitalen Systemen.

Wann Wahrheitstabellen verwendet werden

Wahrheitstabellen werden verwendet, um logische Verknüpfungen zu definieren, zu prüfen, ob zwei Aussagen äquivalent sind, zu testen, ob eine Argumentform gültig ist, und boolesche Ausdrücke in der Informatik zu lesen.

Sie sind besonders nützlich, wenn symbolische Regeln abstrakt wirken. Eine Tabelle zwingt dazu, jeden Fall sichtbar zu machen, wodurch sich versteckte Fehler viel leichter erkennen lassen.

Probiere eine ähnliche Wahrheitstabelle aus

Erstelle die Tabelle für

$$(p \lor q) \land \lnot q$$

Vergleiche dann ihre letzte Spalte mit der Spalte für $p \land \lnot q$. Wenn du danach noch einen weiteren Fall untersuchen möchtest, probiere denselben Prozess mit $p \oplus q$ aus und sieh dir an, wie es sich vom gewöhnlichen ODER unterscheidet.