Bảng chân trị — AND, OR, NOT, XOR và kéo theo

Bảng chân trị liệt kê mọi tổ hợp giá trị đúng sai có thể có của một mệnh đề và cho biết kết quả cuối cùng là đúng hay sai trong từng trường hợp. Nếu bạn muốn hiểu nhanh AND, OR, NOT, XOR hoặc kéo theo, thì bảng chân trị thường là điểm bắt đầu rõ ràng nhất.

Các toán tử chính trên trang này tuân theo một số quy tắc chính xác sau:

• $p \land q$ đúng chỉ khi cả hai cùng đúng.
• $p \lor q$ đúng nếu có ít nhất một mệnh đề đúng.
• $\lnot p$ đảo giá trị chân trị của $p$.
• $p \oplus q$ đúng nếu chính xác một trong hai mệnh đề đúng.
• $p \to q$ chỉ sai khi $p$ đúng và $q$ sai.

Bảng chân trị cho AND, OR, NOT, XOR và kéo theo

Với hai mệnh đề $p$ và $q$, có bốn dòng đầu vào có thể có: $TT$, $TF$, $FT$ và $FF$. Một bảng chân trị đầy đủ phải có đủ cả bốn dòng này.

$p$	$q$	$p \land q$	$p \lor q$	$p \oplus q$	$p \to q$	$\lnot p$
T	T	T	T	F	T	F
T	F	F	T	T	F	F
F	T	F	T	T	T	T
F	F	F	F	F	T	T

Nếu bạn chỉ nhớ một bảng chân trị, thì đây là bảng nên nhớ. Phần lớn các câu hỏi logic nhập môn đều quy về việc đọc đúng một trong các cột này.

Ý nghĩa của từng ký hiệu logic

AND nghĩa là cả hai

$p \land q$ chỉ đúng khi cả hai đầu vào đều đúng.

Vì thế cột AND chỉ có đúng một dòng mang giá trị đúng.

OR nghĩa là ít nhất một

$p \lor q$ đúng khi một đầu vào đúng hoặc khi cả hai cùng đúng.

Đây là nghĩa bao hàm của OR. Nếu bài toán muốn “một trong hai, nhưng không phải cả hai”, thì phải dùng XOR.

NOT đảo ngược một mệnh đề

$\lnot p$ biến đúng thành sai và sai thành đúng.

NOT khác với các toán tử còn lại ở đây vì nó tác động lên một mệnh đề, không phải hai mệnh đề.

XOR nghĩa là đúng một trong hai

$p \oplus q$ đúng khi hai đầu vào khác nhau.

Vì vậy hai dòng ở giữa là đúng, còn các dòng mà $p$ và $q$ giống nhau thì sai.

Kéo theo chỉ có một trường hợp sai

$p \to q$ chỉ sai khi $p$ đúng và $q$ sai.

Quy tắc này lúc đầu có thể hơi lạ, vì phép kéo theo trong logic không có nghĩa là “gây ra” như trong ngôn ngữ hằng ngày. Nó có nghĩa là mệnh đề “nếu $p$ thì $q$” chỉ thất bại khi $p$ xảy ra nhưng $q$ không xảy ra.

Ví dụ có lời giải: Vì sao $p \to q$ chỉ sai một lần

Giả sử $p$ có nghĩa là “Số đó chia hết cho 4” và $q$ có nghĩa là “Số đó là số chẵn”.

Xét mệnh đề

$$p \to q$$

Điều này có nghĩa là: nếu một số chia hết cho $4$, thì nó là số chẵn.

Bây giờ hãy đọc bốn trường hợp logic:

• Nếu $p$ đúng và $q$ đúng, mệnh đề hoạt động đúng.
• Nếu $p$ đúng và $q$ sai, mệnh đề thất bại.
• Nếu $p$ sai, thì trong logic mệnh đề, phép kéo theo được tính là đúng, vì mệnh đề không đưa ra cam kết nào về những trường hợp mà điều kiện không xảy ra.

Đó là lý do $p \to q$ chỉ có đúng một dòng sai. Trong ví dụ này, khẳng định thực sự đúng với mọi số thực vì mọi bội của $4$ đều là số chẵn.

Những lỗi thường gặp với bảng chân trị

• Nhầm lẫn giữa OR và XOR. OR thông thường bao gồm cả trường hợp cả hai đầu vào cùng đúng.
• Hiểu phép kéo theo như quan hệ nhân quả trong đời sống. Trong bảng chân trị, $p \to q$ được xác định bởi các dòng của nó, không phải bởi một câu chuyện về nguyên nhân và kết quả.
• Quên liệt kê mọi tổ hợp đầu vào. Với hai mệnh đề, phải có bốn dòng.
• Xem NOT như một toán tử hai đầu vào. Nó chỉ tác động lên một mệnh đề.
• Cho rằng bảng chân trị chỉ dùng trong triết học hoặc chứng minh. Cùng một logic này cũng xuất hiện trong đại số Boole và các hệ thống số.

Khi nào bảng chân trị được dùng

Bảng chân trị được dùng để định nghĩa các phép nối logic, kiểm tra xem hai mệnh đề có tương đương hay không, kiểm tra một dạng lập luận có hợp lệ hay không, và đọc các biểu thức Boole trong tin học.

Chúng đặc biệt hữu ích khi các quy tắc ký hiệu trở nên quá trừu tượng. Một bảng buộc mọi trường hợp phải hiện ra rõ ràng, nhờ đó các lỗi ẩn sẽ dễ phát hiện hơn nhiều.

Hãy thử một bảng chân trị tương tự

Hãy lập bảng cho

$$(p \lor q) \land \lnot q$$

Sau đó so sánh cột kết quả cuối cùng của nó với cột của $p \land \lnot q$. Nếu muốn thử thêm một trường hợp nữa, hãy làm quy trình tương tự với $p \oplus q$ và xem nó khác OR thông thường như thế nào.