Tabele prawdy — AND, OR, NOT, XOR i implikacja

Tabela prawdy pokazuje wszystkie możliwe kombinacje wartości logicznych dla zdania i mówi, czy wynik końcowy jest w każdym przypadku prawdziwy czy fałszywy. Jeśli chcesz szybko zrozumieć AND, OR, NOT, XOR albo implikację, tabela prawdy jest zwykle najjaśniejszym punktem wyjścia.

Główne operatory na tej stronie opierają się na kilku ścisłych regułach:

• $p \land q$ jest prawdziwe tylko wtedy, gdy oba są prawdziwe.
• $p \lor q$ jest prawdziwe, gdy co najmniej jedno jest prawdziwe.
• $\lnot p$ odwraca wartość logiczną $p$.
• $p \oplus q$ jest prawdziwe, gdy dokładnie jedno z nich jest prawdziwe.
• $p \to q$ jest fałszywe tylko wtedy, gdy $p$ jest prawdziwe, a $q$ jest fałszywe.

Tabela prawdy dla AND, OR, NOT, XOR i implikacji

Dla dwóch zdań $p$ i $q$ istnieją cztery możliwe wiersze wejściowe: $TT$, $TF$, $FT$ i $FF$. Pełna tabela prawdy musi zawierać wszystkie cztery.

$p$	$q$	$p \land q$	$p \lor q$	$p \oplus q$	$p \to q$	$\lnot p$
T	T	T	T	F	T	F
T	F	F	T	T	F	F
F	T	F	T	T	T	T
F	F	F	F	F	T	T

Jeśli masz zapamiętać tylko jedną tabelę prawdy, to właśnie tę. Większość pytań z logiki na poziomie wstępnym sprowadza się do poprawnego odczytania jednej z tych kolumn.

Co oznacza każdy symbol logiczny

AND oznacza oba

$p \land q$ jest prawdziwe tylko wtedy, gdy oba wejścia są prawdziwe.

Dlatego w kolumnie AND jest dokładnie jeden prawdziwy wiersz.

OR oznacza co najmniej jedno

$p \lor q$ jest prawdziwe wtedy, gdy jedno wejście jest prawdziwe albo gdy oba są prawdziwe.

To jest inkluzywne znaczenie OR. Jeśli w zadaniu chodzi o „jedno albo drugie, ale nie oba”, należy użyć XOR.

NOT odwraca jedno zdanie

$\lnot p$ zmienia prawdę na fałsz, a fałsz na prawdę.

NOT różni się od pozostałych operatorów tutaj tym, że działa na jednym zdaniu, a nie na dwóch.

XOR oznacza dokładnie jedno

$p \oplus q$ jest prawdziwe wtedy, gdy wejścia się różnią.

Dlatego dwa środkowe wiersze są prawdziwe, a wiersze, w których $p$ i $q$ są takie same, są fałszywe.

Implikacja ma jeden fałszywy przypadek

$p \to q$ jest fałszywe tylko wtedy, gdy $p$ jest prawdziwe, a $q$ jest fałszywe.

Ta reguła może na początku wydawać się dziwna, bo implikacja w logice nie oznacza tego samego co „powoduje” w języku codziennym. Oznacza, że zdanie „jeśli $p$, to $q$” zawodzi tylko wtedy, gdy $p$ zachodzi, ale $q$ nie.

Przykład: dlaczego $p \to q$ jest fałszywe tylko raz

Załóżmy, że $p$ oznacza „Liczba jest podzielna przez 4”, a $q$ oznacza „Liczba jest parzysta”.

Rozważ zdanie

$$p \to q$$

To znaczy: jeśli liczba jest podzielna przez $4$, to jest parzysta.

Teraz odczytaj cztery przypadki logiczne:

• Jeśli $p$ jest prawdziwe i $q$ jest prawdziwe, zdanie działa poprawnie.
• Jeśli $p$ jest prawdziwe i $q$ jest fałszywe, zdanie zawodzi.
• Jeśli $p$ jest fałszywe, implikacja w logice zdań jest uznawana za prawdziwą, ponieważ zdanie nic nie obiecywało o przypadkach, w których warunek nie zaszedł.

Dlatego $p \to q$ ma dokładnie jeden fałszywy wiersz. W tym przykładzie to twierdzenie jest faktycznie prawdziwe dla każdej liczby rzeczywistej, bo każda wielokrotność $4$ jest parzysta.

Typowe błędy w tabelach prawdy

• Mylenie OR z XOR. Zwykłe OR obejmuje przypadek, w którym oba wejścia są prawdziwe.
• Odczytywanie implikacji jak codziennego związku przyczynowego. W tabeli prawdy $p \to q$ jest określone przez swoje wiersze, a nie przez opowieść o przyczynie i skutku.
• Zapominanie o wypisaniu wszystkich kombinacji wejść. Dla dwóch zdań muszą być cztery wiersze.
• Traktowanie NOT jako operatora dwuargumentowego. Działa tylko na jednym zdaniu.
• Zakładanie, że tabele prawdy są tylko do filozofii albo dowodów. Ta sama logika pojawia się w algebrze Boole’a i systemach cyfrowych.

Kiedy używa się tabel prawdy

Tabele prawdy służą do definiowania spójników logicznych, sprawdzania, czy dwa zdania są równoważne, badania poprawności schematu wnioskowania oraz odczytywania wyrażeń boolowskich w informatyce.

Są szczególnie przydatne wtedy, gdy reguły symboliczne wydają się zbyt abstrakcyjne. Tabela pokazuje każdy przypadek osobno, dzięki czemu dużo łatwiej wychwycić ukryte błędy.

Spróbuj ułożyć podobną tabelę prawdy

Zbuduj tabelę dla

$$(p \lor q) \land \lnot q$$

Następnie porównaj jej końcową kolumnę z kolumną dla $p \land \lnot q$. Jeśli potem chcesz przeanalizować jeszcze jeden przypadek, wykonaj ten sam proces dla $p \oplus q$ i zobacz, czym różni się od zwykłego OR.