ตารางค่าความจริง — AND, OR, NOT, XOR และอิมพลิเคชัน

ตารางค่าความจริงแสดงทุกชุดค่าความจริงที่เป็นไปได้ของประพจน์ และบอกว่าผลลัพธ์สุดท้ายเป็นจริงหรือเป็นเท็จในแต่ละกรณี ถ้าคุณต้องการเข้าใจ AND, OR, NOT, XOR หรืออิมพลิเคชันอย่างรวดเร็ว ตารางค่าความจริงมักเป็นจุดเริ่มต้นที่ชัดเจนที่สุด

ตัวดำเนินการหลักในหน้านี้เป็นไปตามกฎที่แน่นอนเพียงไม่กี่ข้อ:

• $p \land q$ เป็นจริงก็ต่อเมื่อทั้งสองเป็นจริง
• $p \lor q$ เป็นจริงเมื่อมีอย่างน้อยหนึ่งตัวเป็นจริง
• $\lnot p$ สลับค่าความจริงของ $p$
• $p \oplus q$ เป็นจริงเมื่อมีเพียงตัวเดียวที่เป็นจริง
• $p \to q$ เป็นเท็จเพียงกรณีเดียวคือเมื่อ $p$ เป็นจริงและ $q$ เป็นเท็จ

ตารางค่าความจริงของ AND, OR, NOT, XOR และอิมพลิเคชัน

สำหรับสองประพจน์ $p$ และ $q$ จะมีอินพุตที่เป็นไปได้ 4 แถว คือ $TT$, $TF$, $FT$ และ $FF$ ตารางค่าความจริงที่สมบูรณ์ต้องมีครบทั้งสี่แถว

$p$	$q$	$p \land q$	$p \lor q$	$p \oplus q$	$p \to q$	$\lnot p$
T	T	T	T	F	T	F
T	F	F	T	T	F	F
F	T	F	T	T	T	T
F	F	F	F	F	T	T

ถ้าจะจำตารางค่าความจริงเพียงตารางเดียว ตารางนี้คือสิ่งที่ควรจำ คำถามตรรกศาสตร์เบื้องต้นส่วนใหญ่มักย่อให้เหลือแค่การอ่านคอลัมน์ใดคอลัมน์หนึ่งในตารางนี้ให้ถูกต้อง

สัญลักษณ์ตรรกะแต่ละตัวหมายถึงอะไร

AND หมายถึงทั้งคู่

$p \land q$ เป็นจริงก็ต่อเมื่ออินพุตทั้งสองเป็นจริง

นั่นจึงเป็นเหตุผลว่าทำไมคอลัมน์ AND จึงมีแถวที่เป็นจริงเพียงแถวเดียว

OR หมายถึงอย่างน้อยหนึ่งตัว

$p \lor q$ เป็นจริงเมื่ออินพุตตัวใดตัวหนึ่งเป็นจริง หรือทั้งสองตัวเป็นจริง

นี่คือความหมายแบบรวมของ OR ถ้าโจทย์ต้องการความหมายว่า "อย่างใดอย่างหนึ่ง แต่ไม่ใช่ทั้งคู่" ควรใช้ XOR แทน

NOT กลับค่าของประพจน์เดียว

$\lnot p$ เปลี่ยนค่าจริงเป็นเท็จ และเปลี่ยนค่าเท็จเป็นจริง

NOT แตกต่างจากตัวดำเนินการอื่นในหน้านี้ เพราะมันกระทำกับประพจน์เดียว ไม่ใช่สองประพจน์

XOR หมายถึงจริงเพียงตัวเดียว

$p \oplus q$ เป็นจริงเมื่ออินพุตทั้งสองต่างกัน

ดังนั้นสองแถวตรงกลางจึงเป็นจริง และแถวที่ $p$ กับ $q$ เหมือนกันจะเป็นเท็จ

อิมพลิเคชันมีกรณีที่เป็นเท็จเพียงกรณีเดียว

$p \to q$ เป็นเท็จเพียงเมื่อ $p$ เป็นจริงและ $q$ เป็นเท็จ

กฎนี้อาจรู้สึกแปลกในตอนแรก เพราะอิมพลิเคชันในตรรกศาสตร์ไม่ได้หมายถึง "เป็นสาเหตุให้เกิด" แบบภาษาทั่วไป แต่มันหมายความว่าข้อความ "ถ้า $p$ แล้ว $q$" จะล้มเหลวเฉพาะเมื่อ $p$ เกิดขึ้นจริง แต่ $q$ ไม่เกิดขึ้น

ตัวอย่างที่ทำให้เห็นภาพ: ทำไม $p \to q$ จึงเป็นเท็จเพียงครั้งเดียว

สมมติว่า $p$ หมายถึง "จำนวนนั้นหารด้วย 4 ลงตัว" และ $q$ หมายถึง "จำนวนนั้นเป็นจำนวนคู่"

พิจารณาประพจน์

$$p \to q$$

นี่หมายความว่า: ถ้าจำนวนหนึ่งหารด้วย $4$ ลงตัว จำนวนนั้นจะเป็นจำนวนคู่

ตอนนี้ลองอ่านทั้งสี่กรณีทางตรรกะ:

• ถ้า $p$ เป็นจริงและ $q$ เป็นจริง ประพจน์นี้ใช้ได้
• ถ้า $p$ เป็นจริงและ $q$ เป็นเท็จ ประพจน์นี้ล้มเหลว
• ถ้า $p$ เป็นเท็จ อิมพลิเคชันจะนับว่าเป็นจริงในตรรกศาสตร์เชิงประพจน์ เพราะประพจน์นี้ไม่ได้ให้คำรับรองใด ๆ เกี่ยวกับกรณีที่เงื่อนไขไม่เกิดขึ้น

นั่นจึงเป็นเหตุผลว่า $p \to q$ มีแถวที่เป็นเท็จเพียงแถวเดียว ในตัวอย่างนี้ ข้อความนี้เป็นจริงสำหรับจำนวนจริงทุกจำนวน เพราะทุกพหุคูณของ $4$ เป็นจำนวนคู่

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับตารางค่าความจริง

• สับสนระหว่าง OR กับ XOR โดย OR แบบปกติรวมกรณีที่อินพุตทั้งสองเป็นจริงด้วย
• อ่านอิมพลิเคชันเหมือนความเป็นเหตุเป็นผลในชีวิตประจำวัน ในตารางค่าความจริง $p \to q$ ถูกนิยามจากแถวของมัน ไม่ใช่จากเรื่องเล่าเกี่ยวกับเหตุและผล
• ลืมเขียนทุกชุดอินพุตที่เป็นไปได้ สำหรับสองประพจน์ ต้องมี 4 แถวเสมอ
• มองว่า NOT เป็นตัวดำเนินการแบบสองอินพุต ทั้งที่จริงมันกระทำกับประพจน์เดียวเท่านั้น
• คิดว่าตารางค่าความจริงใช้เฉพาะในวิชาปรัชญาหรือการพิสูจน์ ทั้งที่ตรรกะเดียวกันนี้ปรากฏในพีชคณิตบูลีนและระบบดิจิทัลด้วย

ตารางค่าความจริงถูกใช้เมื่อไร

ตารางค่าความจริงใช้เพื่อกำหนดตัวเชื่อมทางตรรกะ ตรวจว่าประพจน์สองอันสมมูลกันหรือไม่ ตรวจว่ารูปแบบการอ้างเหตุผลถูกต้องหรือไม่ และอ่านนิพจน์บูลีนในการคำนวณ

มันมีประโยชน์มากเป็นพิเศษเมื่อกฎเชิงสัญลักษณ์ดูเป็นนามธรรมเกินไป ตารางจะบังคับให้เห็นทุกกรณีอย่างชัดเจน ทำให้จับข้อผิดพลาดที่ซ่อนอยู่ได้ง่ายขึ้นมาก

ลองทำตารางค่าความจริงที่คล้ายกัน

สร้างตารางสำหรับ

$$(p \lor q) \land \lnot q$$

จากนั้นเปรียบเทียบคอลัมน์สุดท้ายของมันกับคอลัมน์ของ $p \land \lnot q$ ถ้าคุณอยากลองอีกกรณีหลังจากนั้น ให้ใช้วิธีเดียวกันกับ $p \oplus q$ แล้วดูว่ามันต่างจาก OR แบบปกติอย่างไร