Tabelle di verità — AND, OR, NOT, XOR e implicazione

Una tabella di verità mostra ogni possibile combinazione di valori di verità per un enunciato e ti dice se il risultato finale è vero o falso in ciascun caso. Se vuoi capire rapidamente AND, OR, NOT, XOR o l’implicazione, una tabella di verità è di solito il punto di partenza più chiaro.

Gli operatori principali in questa pagina seguono un piccolo insieme di regole precise:

• $p \land q$ è vero solo se entrambi sono veri.
• $p \lor q$ è vero se almeno uno è vero.
• $\lnot p$ inverte il valore di verità di $p$.
• $p \oplus q$ è vero se esattamente uno dei due è vero.
• $p \to q$ è falso solo quando $p$ è vero e $q$ è falso.

Tabella di verità per AND, OR, NOT, XOR e implicazione

Per due enunciati $p$ e $q$, ci sono quattro possibili righe di ingresso: $TT$, $TF$, $FT$ e $FF$. Una tabella di verità completa deve includerle tutte e quattro.

$p$	$q$	$p \land q$	$p \lor q$	$p \oplus q$	$p \to q$	$\lnot p$
T	T	T	T	F	T	F
T	F	F	T	T	F	F
F	T	F	T	T	T	T
F	F	F	F	F	T	T

Se ricordi una sola tabella di verità, è questa da tenere a mente. La maggior parte delle domande introduttive di logica si riduce a leggere correttamente una di queste colonne.

Cosa significa ogni simbolo logico

AND significa entrambi

$p \land q$ è vero solo quando entrambi gli ingressi sono veri.

Per questo la colonna di AND ha esattamente una sola riga vera.

OR significa almeno uno

$p \lor q$ è vero quando un ingresso è vero oppure quando sono veri entrambi.

Questo è il significato inclusivo di OR. Se un problema vuole “uno o l’altro, ma non entrambi”, allora dovrebbe usare XOR.

NOT inverte un enunciato

$\lnot p$ trasforma vero in falso e falso in vero.

NOT è diverso dagli altri operatori qui perché agisce su un solo enunciato, non su due enunciati.

XOR significa esattamente uno

$p \oplus q$ è vero quando gli ingressi sono diversi.

Quindi le due righe centrali sono vere, mentre le righe in cui $p$ e $q$ coincidono sono false.

L’implicazione ha un solo caso falso

$p \to q$ è falso solo quando $p$ è vero e $q$ è falso.

Questa regola all’inizio può sembrare strana, perché l’implicazione in logica non significa “causa” nel linguaggio quotidiano. Significa che l’affermazione “se $p$, allora $q$” fallisce solo quando $p$ accade ma $q$ no.

Esempio svolto: perché $p \to q$ è falso una sola volta

Supponiamo che $p$ significhi “Il numero è divisibile per 4” e che $q$ significhi “Il numero è pari”.

Considera l’enunciato

$$p \to q$$

Questo significa: se un numero è divisibile per $4$, allora è pari.

Ora leggi i quattro casi logici:

• Se $p$ è vero e $q$ è vero, l’enunciato funziona.
• Se $p$ è vero e $q$ è falso, l’enunciato fallisce.
• Se $p$ è falso, l’implicazione conta come vera nella logica proposizionale, perché l’enunciato non faceva alcuna promessa sui casi in cui la condizione non si verificava.

Per questo $p \to q$ ha esattamente una sola riga falsa. In questo esempio, l’affermazione è davvero vera per ogni numero reale perché ogni multiplo di $4$ è pari.

Errori comuni nelle tabelle di verità

• Confondere OR e XOR. Il normale OR include il caso in cui entrambi gli ingressi sono veri.
• Leggere l’implicazione come causalità nel linguaggio quotidiano. In una tabella di verità, $p \to q$ è definito dalle sue righe, non da una storia di causa ed effetto.
• Dimenticare di elencare ogni combinazione di ingresso. Con due enunciati, devono esserci quattro righe.
• Trattare NOT come un operatore a due ingressi. Agisce solo su un enunciato.
• Pensare che le tabelle di verità servano solo per la filosofia o per le dimostrazioni. La stessa logica compare nell'algebra di Boole e nei sistemi digitali.

Quando si usano le tabelle di verità

Le tabelle di verità si usano per definire i connettivi logici, verificare se due enunciati sono equivalenti, controllare se una forma argomentativa è valida e leggere espressioni booleane in informatica.

Sono particolarmente utili quando le regole simboliche sembrano astratte. Una tabella mette ogni caso sotto gli occhi, e questo rende molto più facile individuare errori nascosti.

Prova una tabella di verità simile

Costruisci la tabella per

$$(p \lor q) \land \lnot q$$

Poi confronta la sua colonna finale con la colonna di $p \land \lnot q$. Se vuoi esplorare un altro caso dopo questo, prova lo stesso procedimento con $p \oplus q$ e osserva come differisce dal normale OR.