Tables de vérité — ET, OU, NON, XOR et implication

Une table de vérité présente toutes les combinaisons possibles de valeurs de vérité d’une proposition et indique si le résultat final est vrai ou faux dans chaque cas. Si vous voulez comprendre rapidement ET, OU, NON, XOR ou l’implication, une table de vérité est généralement le point de départ le plus clair.

Les principaux opérateurs de cette page suivent un petit ensemble de règles exactes :

• $p \land q$ est vrai seulement si les deux sont vrais.
• $p \lor q$ est vrai si au moins l’un des deux est vrai.
• $\lnot p$ inverse la valeur de vérité de $p$.
• $p \oplus q$ est vrai si exactement l’un des deux est vrai.
• $p \to q$ est faux seulement lorsque $p$ est vrai et $q$ est faux.

Table de vérité pour ET, OU, NON, XOR et l’implication

Pour deux propositions $p$ et $q$, il existe quatre lignes d’entrée possibles : $TT$, $TF$, $FT$ et $FF$. Une table de vérité complète doit contenir les quatre.

$p$	$q$	$p \land q$	$p \lor q$	$p \oplus q$	$p \to q$	$\lnot p$
T	T	T	T	F	T	F
T	F	F	T	T	F	F
F	T	F	T	T	T	T
F	F	F	F	F	T	T

Si vous ne retenez qu’une seule table de vérité, c’est celle-ci qu’il faut garder. La plupart des questions d’introduction à la logique reviennent à lire correctement l’une de ces colonnes.

Signification de chaque symbole logique

ET signifie les deux

$p \land q$ est vrai seulement lorsque les deux entrées sont vraies.

C’est pourquoi la colonne de ET ne contient qu’une seule ligne vraie.

OU signifie au moins un

$p \lor q$ est vrai lorsqu’une entrée est vraie ou lorsque les deux le sont.

C’est le sens inclusif de OU. Si un exercice veut dire « l’un ou l’autre, mais pas les deux », il doit utiliser XOR à la place.

NON inverse une proposition

$\lnot p$ transforme vrai en faux et faux en vrai.

NON est différent des autres opérateurs ici, car il agit sur une seule proposition, et non sur deux.

XOR signifie exactement un

$p \oplus q$ est vrai lorsque les entrées sont différentes.

Ainsi, les deux lignes du milieu sont vraies, et les lignes où $p$ et $q$ coïncident sont fausses.

L’implication n’a qu’un seul cas faux

$p \to q$ est faux seulement lorsque $p$ est vrai et $q$ est faux.

Cette règle peut sembler étrange au début, car l’implication en logique ne signifie pas « cause » au sens courant. Elle veut dire que l’énoncé « si $p$, alors $q$ » échoue seulement lorsque $p$ se produit mais pas $q$.

Exemple détaillé : pourquoi $p \to q$ n’est faux qu’une seule fois

Supposons que $p$ signifie « Le nombre est divisible par 4 » et que $q$ signifie « Le nombre est pair ».

Considérons l’énoncé

$$p \to q$$

Cela signifie : si un nombre est divisible par $4$, alors il est pair.

Examinons maintenant les quatre cas logiques :

• Si $p$ est vrai et $q$ est vrai, l’énoncé fonctionne.
• Si $p$ est vrai et $q$ est faux, l’énoncé échoue.
• Si $p$ est faux, l’implication est considérée comme vraie en logique propositionnelle, car l’énoncé ne promettait rien pour les cas où la condition ne se réalisait pas.

C’est pourquoi $p \to q$ a exactement une seule ligne fausse. Dans cet exemple, l’affirmation est en réalité vraie pour tout nombre réel, car tout multiple de $4$ est pair.

Erreurs fréquentes avec les tables de vérité

• Confondre OU et XOR. Le OU ordinaire inclut le cas où les deux entrées sont vraies.
• Lire l’implication comme une causalité du langage courant. Dans une table de vérité, $p \to q$ est défini par ses lignes, pas par une histoire de cause et d’effet.
• Oublier de lister toutes les combinaisons d’entrée. Avec deux propositions, il doit y avoir quatre lignes.
• Traiter NON comme un opérateur à deux entrées. Il agit sur une seule proposition.
• Penser que les tables de vérité ne servent qu’en philosophie ou dans les preuves. La même logique apparaît en algèbre de Boole et dans les systèmes numériques.

Quand utilise-t-on les tables de vérité ?

Les tables de vérité servent à définir les connecteurs logiques, à tester si deux propositions sont équivalentes, à vérifier si une forme d’argument est valide et à lire des expressions booléennes en informatique.

Elles sont particulièrement utiles lorsque les règles symboliques paraissent abstraites. Une table oblige à voir tous les cas, ce qui rend les erreurs cachées beaucoup plus faciles à repérer.

Essayez une table de vérité similaire

Construisez la table pour

$$(p \lor q) \land \lnot q$$

Comparez ensuite sa colonne finale avec celle de $p \land \lnot q$. Si vous voulez explorer un autre cas après cela, essayez le même procédé avec $p \oplus q$ et voyez en quoi il diffère du OU ordinaire.