진리표 — AND, OR, NOT, XOR와 함의

진리표는 어떤 명제에 대해 가능한 모든 진릿값 조합을 보여 주고, 각 경우에 최종 결과가 참인지 거짓인지 알려 줍니다. AND, OR, NOT, XOR, 함의를 빠르게 이해하고 싶다면 보통 진리표가 가장 분명한 출발점입니다.

이 페이지에서 다루는 주요 연산자는 몇 가지 정확한 규칙을 따릅니다.

• $p \land q$는 둘 다 참일 때만 참입니다.
• $p \lor q$는 적어도 하나가 참이면 참입니다.
• $\lnot p$는 $p$의 진릿값을 뒤집습니다.
• $p \oplus q$는 정확히 하나만 참일 때 참입니다.
• $p \to q$는 $p$가 참이고 $q$가 거짓일 때만 거짓입니다.

AND, OR, NOT, XOR, 함의의 진리표

두 명제 $p$와 $q$에 대해 가능한 입력 행은 $TT$, $TF$, $FT$, $FF$의 네 가지입니다. 완전한 진리표라면 이 네 가지를 모두 포함해야 합니다.

$p$	$q$	$p \land q$	$p \lor q$	$p \oplus q$	$p \to q$	$\lnot p$
T	T	T	T	F	T	F
T	F	F	T	T	F	F
F	T	F	T	T	T	T
F	F	F	F	F	T	T

진리표를 하나만 기억해야 한다면 바로 이 표를 기억하면 됩니다. 입문 수준의 논리 문제 대부분은 이 열들 중 하나를 정확히 읽는 것으로 해결됩니다.

각 논리 기호의 의미

AND는 둘 다 참이라는 뜻

$p \land q$는 두 입력이 모두 참일 때만 참입니다.

그래서 AND 열에는 참인 행이 정확히 하나만 있습니다.

OR는 적어도 하나가 참이라는 뜻

$p \lor q$는 하나가 참이거나 둘 다 참일 때 참입니다.

이것이 OR의 포함적 의미입니다. 만약 문제가 "둘 중 하나만, 둘 다는 아님"을 뜻한다면 OR 대신 XOR를 써야 합니다.

NOT는 하나의 명제를 뒤집음

$\lnot p$는 참을 거짓으로, 거짓을 참으로 바꿉니다.

NOT는 여기 있는 다른 연산자들과 달리 두 명제가 아니라 하나의 명제에만 작용합니다.

XOR는 정확히 하나만 참이라는 뜻

$p \oplus q$는 두 입력이 서로 다를 때 참입니다.

그래서 가운데 두 행은 참이고, $p$와 $q$가 같은 행은 거짓입니다.

함의는 거짓인 경우가 하나뿐임

$p \to q$는 $p$가 참이고 $q$가 거짓일 때만 거짓입니다.

이 규칙은 처음에는 낯설게 느껴질 수 있습니다. 논리학에서 함의는 일상 언어의 "원인이 된다"는 뜻이 아니기 때문입니다. 이는 "만약 $p$이면, $q$이다"라는 주장이 $p$는 일어났는데 $q$는 일어나지 않았을 때만 실패한다는 뜻입니다.

예제로 보기: 왜 $p \to q$는 한 번만 거짓일까

$p$가 "그 수는 4로 나누어떨어진다"를 뜻하고, $q$가 "그 수는 짝수이다"를 뜻한다고 해 봅시다.

다음 명제를 생각해 봅시다.

$$p \to q$$

이 뜻은 "어떤 수가 $4$로 나누어떨어지면, 그 수는 짝수이다"입니다.

이제 네 가지 논리적 경우를 읽어 봅시다.

• $p$가 참이고 $q$도 참이면, 이 명제는 성립합니다.
• $p$가 참인데 $q$가 거짓이면, 이 명제는 성립하지 않습니다.
• $p$가 거짓이면, 명제 논리에서는 이 함의를 참으로 봅니다. 조건이 일어나지 않은 경우에 대해서는 아무 약속도 하지 않았기 때문입니다.

그래서 $p \to q$에는 거짓인 행이 정확히 하나만 있습니다. 이 예에서는 실제로 모든 실수에 대해 이 주장이 참입니다. $4$의 배수는 모두 짝수이기 때문입니다.

진리표에서 자주 하는 실수

• OR와 XOR를 혼동하는 것. 일반적인 OR는 두 입력이 모두 참인 경우도 포함합니다.
• 함의를 일상적인 인과관계로 읽는 것. 진리표에서 $p \to q$는 원인과 결과의 이야기가 아니라 각 행의 정의로 결정됩니다.
• 가능한 입력 조합을 모두 쓰지 않는 것. 두 명제라면 반드시 네 행이 있어야 합니다.
• NOT를 두 입력 연산자로 취급하는 것. NOT는 하나의 명제에만 작용합니다.
• 진리표는 철학이나 증명에만 쓰인다고 생각하는 것. 같은 논리는 불 대수와 디지털 시스템에도 나타납니다.

진리표는 언제 쓰이나요?

진리표는 논리 연결사를 정의하고, 두 명제가 동치인지 검사하고, 논증 형식이 타당한지 확인하고, 컴퓨팅에서 불 표현식을 읽는 데 사용됩니다.

특히 기호 규칙이 추상적으로 느껴질 때 매우 유용합니다. 표를 사용하면 모든 경우가 눈에 보이기 때문에 숨어 있는 실수를 훨씬 쉽게 찾을 수 있습니다.

비슷한 진리표를 직접 해보기

다음 식의 표를 만들어 보세요.

$$(p \lor q) \land \lnot q$$

그다음 마지막 열을 $p \land \lnot q$의 열과 비교해 보세요. 그 후 다른 경우도 살펴보고 싶다면 $p \oplus q$에 대해서도 같은 과정을 해 보고, 일반적인 OR와 어떻게 다른지 확인해 보세요.