Tablas de verdad — AND, OR, NOT, XOR e implicación

Una tabla de verdad muestra todas las combinaciones posibles de valores de verdad para un enunciado y te dice si el resultado final es verdadero o falso en cada caso. Si quieres entender AND, OR, NOT, XOR o la implicación rápidamente, una tabla de verdad suele ser el punto de partida más claro.

Los operadores principales de esta página siguen un pequeño conjunto de reglas exactas:

• $p \land q$ es verdadero solo si ambos son verdaderos.
• $p \lor q$ es verdadero si al menos uno es verdadero.
• $\lnot p$ invierte el valor de verdad de $p$.
• $p \oplus q$ es verdadero si exactamente uno de ellos es verdadero.
• $p \to q$ es falso solo cuando $p$ es verdadero y $q$ es falso.

Tabla de verdad de AND, OR, NOT, XOR e implicación

Para dos enunciados $p$ y $q$, hay cuatro filas de entrada posibles: $TT$, $TF$, $FT$ y $FF$. Una tabla de verdad completa tiene que incluir las cuatro.

$p$	$q$	$p \land q$	$p \lor q$	$p \oplus q$	$p \to q$	$\lnot p$
T	T	T	T	F	T	F
T	F	F	T	T	F	F
F	T	F	T	T	T	T
F	F	F	F	F	T	T

Si recuerdas solo una tabla de verdad, esta es la que debes conservar. La mayoría de las preguntas introductorias de lógica se reducen a leer correctamente una de estas columnas.

Qué significa cada símbolo lógico

AND significa ambos

$p \land q$ es verdadero solo cuando ambas entradas son verdaderas.

Por eso la columna de AND tiene exactamente una fila verdadera.

OR significa al menos uno

$p \lor q$ es verdadero cuando una entrada es verdadera o cuando ambas lo son.

Este es el significado inclusivo de OR. Si un problema quiere decir "uno u otro, pero no ambos", debería usar XOR en su lugar.

NOT invierte un enunciado

$\lnot p$ cambia verdadero por falso y falso por verdadero.

NOT es diferente de los otros operadores aquí porque actúa sobre un enunciado, no sobre dos enunciados.

XOR significa exactamente uno

$p \oplus q$ es verdadero cuando las entradas son distintas.

Por eso las dos filas del medio son verdaderas, y las filas donde $p$ y $q$ coinciden son falsas.

La implicación tiene un solo caso falso

$p \to q$ es falso solo cuando $p$ es verdadero y $q$ es falso.

Esa regla puede parecer extraña al principio porque la implicación en lógica no significa "causa" como en el lenguaje cotidiano. Significa que la afirmación "si $p$, entonces $q$" falla solo cuando $p$ ocurre pero $q$ no.

Ejemplo resuelto: por qué $p \to q$ solo es falso una vez

Supón que $p$ significa "El número es divisible por 4" y $q$ significa "El número es par".

Considera el enunciado

$$p \to q$$

Esto significa: si un número es divisible por $4$, entonces es par.

Ahora lee los cuatro casos lógicos:

• Si $p$ es verdadero y $q$ es verdadero, el enunciado funciona.
• Si $p$ es verdadero y $q$ es falso, el enunciado falla.
• Si $p$ es falso, la implicación cuenta como verdadera en lógica proposicional, porque el enunciado no hizo ninguna promesa sobre los casos en que la condición no ocurrió.

Por eso $p \to q$ tiene exactamente una fila falsa. En este ejemplo, la afirmación en realidad es verdadera para todo número real porque todo múltiplo de $4$ es par.

Errores comunes con las tablas de verdad

• Confundir OR con XOR. El OR común incluye el caso en que ambas entradas son verdaderas.
• Leer la implicación como causalidad cotidiana. En una tabla de verdad, $p \to q$ se define por sus filas, no por una historia de causa y efecto.
• Olvidar enumerar todas las combinaciones de entrada. Con dos enunciados, debe haber cuatro filas.
• Tratar NOT como un operador de dos entradas. Actúa solo sobre un enunciado.
• Suponer que las tablas de verdad solo sirven para filosofía o demostraciones. La misma lógica aparece en el álgebra de Boole y en los sistemas digitales.

Cuándo se usan las tablas de verdad

Las tablas de verdad se usan para definir conectivos lógicos, comprobar si dos enunciados son equivalentes, verificar si una forma de argumento es válida y leer expresiones booleanas en computación.

Son especialmente útiles cuando las reglas simbólicas parecen abstractas. Una tabla obliga a ver todos los casos, lo que hace mucho más fácil detectar errores ocultos.

Prueba una tabla de verdad similar

Construye la tabla para

$$(p \lor q) \land \lnot q$$

Luego compara su columna final con la columna de $p \land \lnot q$. Si quieres explorar otro caso después, prueba el mismo proceso con $p \oplus q$ y observa en qué se diferencia del OR común.