Ma trận — Các loại, phép toán và định thức

Ma trận là các bảng số hình chữ nhật được sắp xếp theo hàng và cột. Để hiểu nhanh về ma trận, hãy tập trung vào bốn điều: kích thước, các loại ma trận phổ biến, những phép toán nào được xác định và định thức cho bạn biết điều gì khi ma trận là ma trận vuông.

Ma trận có thể dùng để tổ chức dữ liệu, nhưng trong đại số tuyến tính nhập môn, nó còn biểu diễn một quy tắc biến đổi vectơ. Bạn không cần toàn bộ lý thuyết để bắt đầu. Điều quan trọng nhất là hiểu kích thước chi phối các quy tắc như thế nào.

Kích thước ma trận: hàng và cột

Kích thước của một ma trận được viết là số hàng nhân số cột. Ví dụ,

$$\begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 4 & -3 & 5 \end{bmatrix}$$

là một ma trận $2 \times 3$ vì nó có $2$ hàng và $3$ cột.

Kích thước đó không chỉ là một nhãn. Nó quyết định ma trận có thể làm gì và những phép toán nào có ý nghĩa.

Các loại ma trận phổ biến

Hầu hết các bài toán ma trận nhập môn đều dùng một số loại quen thuộc.

Ma trận hàng và ma trận cột

Ma trận hàng có một hàng, chẳng hạn ma trận $1 \times 3$. Ma trận cột có một cột, chẳng hạn ma trận $3 \times 1$.

Ma trận vuông

Ma trận vuông có số hàng bằng số cột, chẳng hạn $2 \times 2$ hoặc $3 \times 3$. Định thức và ma trận nghịch đảo chỉ được xác định cho ma trận vuông.

Ma trận đường chéo

Ma trận đường chéo là ma trận vuông và có các phần tử bằng $0$ ở mọi vị trí, trừ có thể trên đường chéo chính. Những ma trận này thường dễ làm việc hơn vì các giá trị quan trọng tập trung trên đường chéo đó.

Ma trận đơn vị

Ma trận đơn vị là phiên bản ma trận của số $1$ trong phép nhân. Với trường hợp $2 \times 2$,

$$I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

và khi nhân với $I$, một ma trận tương thích sẽ không thay đổi.

Ma trận không

Ma trận không có tất cả các phần tử đều bằng $0$. Nó có thể có nhiều kích thước khác nhau và đóng vai trò là phần tử không của phép cộng đối với các ma trận cùng kích thước.

Phép toán ma trận: phép nào được xác định và phép nào không

Cộng và trừ

Bạn chỉ có thể cộng hoặc trừ các ma trận nếu chúng có đúng cùng kích thước. Phép toán được thực hiện theo từng phần tử.

Nếu kích thước khác nhau thì phép toán không được xác định.

Nhân với số vô hướng

Nếu bạn nhân một ma trận với một số, gọi là số vô hướng, thì bạn nhân mọi phần tử của ma trận với số đó.

Ví dụ,

$$3 \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 4 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -6 \\ 12 & 0 \end{bmatrix}$$

Nhân ma trận

Phép nhân ma trận tuân theo một quy tắc khác. Nếu $A$ là ma trận $m \times n$ và $B$ là ma trận $n \times p$, thì $AB$ được xác định và kết quả là một ma trận $m \times p$.

Hai kích thước ở giữa phải khớp nhau. Đó là điều kiện:

$$(m \times n)(n \times p)$$

được xác định, nhưng

$$(m \times n)(r \times p)$$

không được xác định khi $n \ne r$.

Thứ tự cũng rất quan trọng. Ngay cả khi cả hai tích đều tồn tại, $AB$ và $BA$ thường khác nhau.

Ma trận chuyển vị

Ma trận chuyển vị của một ma trận được tạo bằng cách đổi hàng thành cột và cột thành hàng. Một ma trận $2 \times 3$ sẽ trở thành ma trận $3 \times 2$.

Điều này quan trọng trong nhiều công thức vì nó làm thay đổi cách ma trận khớp với nhau trong phép nhân.

Định thức: nó cho bạn biết điều gì

Định thức là một số duy nhất gắn với một ma trận vuông. Nó không được xác định cho các ma trận không vuông.

Với ma trận $2 \times 2$

$$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},$$

định thức là

$$\det(A) = ad - bc$$

Ở mức nhập môn, cách hiểu hữu ích nhất là:

• Nếu $\det(A) \ne 0$, ma trận khả nghịch.
• Nếu $\det(A) = 0$, ma trận không khả nghịch.

Về mặt hình học, với ma trận $2 \times 2$, $|\det(A)|$ cho biết diện tích được phóng đại hay thu nhỏ theo hệ số bao nhiêu. Dấu của nó cho biết hướng được giữ nguyên hay bị đảo ngược.

Ví dụ ma trận có lời giải

Xét

$$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$$

Đây là một ma trận vuông, nên định thức của nó được xác định. Tính bằng công thức $ad-bc$:

$$\det(A) = (2)(4) - (1)(3) = 8 - 3 = 5$$

Vì $\det(A) = 5 \ne 0$, ma trận này khả nghịch.

Ví dụ này kết nối các ý chính:

• Ma trận có kích thước $2 \times 2$, nên nó là ma trận vuông.
• Là ma trận vuông nghĩa là định thức được xác định.
• Định thức khác $0$ nghĩa là ma trận có nghịch đảo.
• Với vai trò là một phép biến đổi trên mặt phẳng, ma trận này làm thay đổi diện tích có hướng theo hệ số $5$.

Đó là lý do định thức quan trọng. Nó không chỉ là một con số để tính ra. Nó cho bạn biết một tính chất cấu trúc của ma trận.

Những lỗi thường gặp với ma trận

Một lỗi phổ biến là cố cộng các ma trận có kích thước khác nhau. Một lỗi khác là cố nhân ma trận mà không kiểm tra trước hai kích thước ở giữa.

Học sinh cũng thường cho rằng $AB=BA$. Với ma trận, điều đó thường sai.

Với định thức, lỗi chính là áp dụng nó cho ma trận không vuông. Một lỗi phổ biến khác là nhớ nhầm công thức $2 \times 2$ thành $ad+bc$ thay vì $ad-bc$.

Ma trận được dùng ở đâu

Ma trận xuất hiện ở bất cứ đâu cần tổ chức cùng lúc mối quan hệ giữa nhiều đại lượng. Trong các khóa học đầu tiên, chúng được dùng cho hệ phương trình và các phép biến đổi tuyến tính.

Chúng cũng xuất hiện trong đồ họa máy tính, phân tích dữ liệu, mô hình kỹ thuật và tính toán số. Chi tiết thay đổi theo từng lĩnh vực, nhưng các quy tắc cốt lõi về kích thước, phép nhân và tính khả nghịch vẫn luôn quan trọng.

Hãy thử một bài toán ma trận tương tự

Chọn một ma trận nhỏ $2 \times 2$ và trả lời bốn câu hỏi: kích thước của nó là gì, nó có phải ma trận vuông không, định thức của nó là bao nhiêu và nó có nghịch đảo không?

Nếu sau đó bạn dùng máy tính, hãy dự đoán các câu trả lời trước khi tính. Như vậy công cụ sẽ trở thành cách kiểm tra, chứ không phải thứ thay thế cho sự hiểu bài.