Quy tắc Cramer — Giải hệ phương trình bằng định thức

Quy tắc Cramer dùng định thức để giải một hệ phương trình tuyến tính vuông. Ta lần lượt thay từng cột, tính định thức, rồi chia cho định thức của ma trận hệ số ban đầu. Phương pháp này chỉ dùng được khi $\det(A) \ne 0$.

Nếu hệ được viết dưới dạng

$$Ax = b$$

và $A$ là ma trận vuông với $\det(A) \ne 0$, thì hệ có nghiệm duy nhất và Quy tắc Cramer có thể tìm trực tiếp từng ẩn.

Công thức của Quy tắc Cramer

Với ẩn $x_i$, ta có công thức

$$x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}$$

trong đó $A_i$ là ma trận thu được bằng cách thay cột thứ $i$ của $A$ bằng cột hằng số từ $b$.

Điều kiện này rất quan trọng. Nếu $\det(A) = 0$, mẫu số bằng 0, nên Quy tắc Cramer không cho nghiệm duy nhất.

Khi nào có thể dùng Quy tắc Cramer

Chỉ dùng khi tất cả các điều kiện sau đều đúng:

1. Hệ có số phương trình bằng số ẩn.
2. Ma trận hệ số là ma trận vuông.
3. Định thức của ma trận hệ số khác 0.

Nếu thiếu một điều kiện, hãy dừng lại. Ví dụ, nếu định thức bằng 0 thì hệ có thể vô nghiệm hoặc có vô số nghiệm, nên Quy tắc Cramer không phải công cụ phù hợp để tìm một nghiệm duy nhất.

Giải hệ $2 \times 2$ từng bước

Giải hệ

$$\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$$

Trước hết xác định ma trận hệ số và cột hằng số:

$$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}, \qquad b = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}$$

Tính định thức của $A$:

$$\det(A) = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 2(-1) - 1(1) = -3$$

Vì $\det(A) = -3 \ne 0$, hệ có nghiệm duy nhất, nên có thể áp dụng Quy tắc Cramer.

Tìm $x$

Thay cột thứ nhất của $A$ bằng $b$:

$$A_x = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$$

Khi đó

$$\det(A_x) = \begin{vmatrix} 5 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 5(-1) - 1(1) = -6$$

Bây giờ chia cho định thức ban đầu:

$$x = \frac{\det(A_x)}{\det(A)} = \frac{-6}{-3} = 2$$

Tìm $y$

Thay cột thứ hai của $A$ bằng $b$:

$$A_y = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$$

Khi đó

$$\det(A_y) = \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2(1) - 5(1) = -3$$

Tiếp tục chia cho $\det(A)$:

$$y = \frac{\det(A_y)}{\det(A)} = \frac{-3}{-3} = 1$$

Vậy nghiệm là

$$(x,y) = (2,1)$$

Đó là toàn bộ quy trình: một định thức cho ma trận ban đầu, rồi thêm một định thức cho mỗi ẩn.

Vì sao Quy tắc Cramer quan trọng

Quy tắc Cramer thường không phải là cách nhanh nhất để giải một hệ lớn. Học sinh học phương pháp này vì nó liên kết rõ ràng ba ý tưởng:

• giải hệ phương trình tuyến tính
• định thức
• điều kiện để có nghiệm duy nhất

Nếu $\det(A) \ne 0$, hệ có đúng một nghiệm duy nhất. Nếu $\det(A) = 0$, sẽ có vấn đề: hệ có thể vô nghiệm hoặc có vô số nghiệm.

Những lỗi thường gặp khi dùng Quy tắc Cramer

Dùng khi $\det(A) = 0$

Đây là bước kiểm tra quan trọng nhất. Quy tắc Cramer dựa trên việc chia cho $\det(A)$, nên nếu định thức bằng 0 thì phương pháp này không áp dụng được để tìm nghiệm duy nhất.

Thay nhầm cột

Muốn tìm $x$, hãy thay cột của $x$. Muốn tìm $y$, hãy thay cột của $y$. Cột hằng số không được ghép thêm vào; nó dùng để thay thế từng cột một.

Coi đây là phương pháp tốt nhất cho mọi hệ

Với các hệ lớn hơn, khử Gauss hoặc các phương pháp số thường thực tế hơn. Quy tắc Cramer hữu ích nhất với các hệ nhỏ và để hiểu vai trò của định thức.

Khi nào Quy tắc Cramer được dùng

Bạn thường gặp Quy tắc Cramer trong các môn đại số và đại số tuyến tính khi mục tiêu là hiểu bản chất hơn là tốc độ. Nó đặc biệt hữu ích khi muốn chỉ ra mỗi ẩn phụ thuộc thế nào vào các hệ số và các hằng số.

Trong thực tế, phương pháp này thuận tiện nhất cho hệ $2 \times 2$ và đôi khi là hệ $3 \times 3$. Lớn hơn nữa thì phần tính định thức tăng rất nhanh, nên nó không còn là phương pháp mặc định.

Thử một bài tương tự

Hãy thử giải hệ

$$\begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ x - y = 0 \end{cases}$$

Trước tiên hãy tính $\det(A)$. Nếu nó khác 0, hãy lần lượt thay từng cột và giải $x$ và $y$. Sau khi làm xong bằng tay, hãy so sánh cách thiết lập của bạn với một công cụ giải ma trận để kiểm tra cả các định thức lẫn đáp án cuối cùng.