Quy tắc số mũ — Các định luật số mũ kèm ví dụ

Các quy tắc số mũ cho bạn biết phải làm gì với lũy thừa khi nhân, chia hoặc nâng một lũy thừa lên một lũy thừa khác. Nếu bạn nhận ra đúng dạng biểu thức, phần lớn bài toán về số mũ có thể được rút gọn chỉ trong vài bước.

Dưới đây là các định luật số mũ chính:

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$ $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \quad (a \ne 0)$$ $$(a^m)^n = a^{mn}$$ $$(ab)^n = a^n b^n$$ $$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \quad (b \ne 0)$$ $$a^0 = 1 \quad (a \ne 0)$$ $$a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad (a \ne 0)$$

Các quy tắc này không phải lúc nào cũng dùng cùng một điều kiện. Điều kiện khác 0 đặc biệt quan trọng khi có phép chia.

Số mũ có nghĩa là gì

Số mũ cho biết một cơ số được dùng làm thừa số bao nhiêu lần. Ví dụ,

$$2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$$

Ý tưởng nhân lặp lại này giải thích vì sao số mũ được cộng khi bạn nhân các lũy thừa cùng cơ số. Bạn đang gộp các nhóm có cùng một thừa số.

Các quy tắc số mũ chính kèm ví dụ

Quy tắc tích

Nếu cơ số giống nhau, hãy cộng các số mũ:

$$x^3 \cdot x^5 = x^8$$

Điều này đúng vì tổng cộng có $3+5$ thừa số $x$.

Quy tắc thương

Nếu cơ số giống nhau và cơ số khác 0, hãy trừ các số mũ:

$$\frac{y^7}{y^2} = y^5$$

Bạn có thể hiểu điều này như việc khử các thừa số chung.

Lũy thừa của một lũy thừa

Khi một lũy thừa được nâng lên một lũy thừa khác, hãy nhân các số mũ:

$$(z^4)^3 = z^{12}$$

Đây là phép nhân lặp lại của một phép nhân lặp lại.

Lũy thừa của một tích hoặc một thương

Phân phối số mũ cho phép nhân và phép chia:

$$(2x)^3 = 2^3 x^3 = 8x^3$$ $$\left(\frac{3a}{b}\right)^2 = \frac{9a^2}{b^2} \quad (b \ne 0)$$

Số mũ bằng 0 và số mũ âm

Với mọi cơ số khác 0,

$$a^0 = 1$$

và

$$a^{-3} = \frac{1}{a^3}$$

Số mũ âm không có nghĩa là kết quả âm. Nó có nghĩa là "lấy nghịch đảo".

Ví dụ giải chi tiết: rút gọn một biểu thức bằng quy tắc số mũ

Rút gọn

$$\frac{(3x^2)^2 \cdot x^3}{9x}$$

Bắt đầu với biểu thức trong ngoặc:

$$(3x^2)^2 = 3^2 (x^2)^2 = 9x^4$$

Bây giờ biểu thức trở thành

$$\frac{9x^4 \cdot x^3}{9x}$$

Dùng quy tắc tích ở tử số:

$$9x^4 \cdot x^3 = 9x^7$$

Vậy bây giờ ta có

$$\frac{9x^7}{9x} = x^6$$

Ví dụ này cho thấy ba thao tác thường gặp: phân phối một lũy thừa lên một tích, nhân số mũ trong lũy thừa của một lũy thừa, và trừ số mũ khi chia các lũy thừa cùng cơ số.

Một lỗi thường gặp: số mũ không phân phối qua phép cộng

Các quy tắc số mũ không phân phối qua phép cộng theo cùng cách. Nói chung,

$$(a+b)^2 \ne a^2 + b^2$$

Ví dụ,

$$(2+3)^2 = 25$$

nhưng

$$2^2 + 3^2 = 13$$

Đây là một lỗi rất phổ biến. Quy tắc tích áp dụng cho phép nhân, không phải phép cộng.

Số mũ phân số cần có điều kiện

Bạn cũng có thể gặp các số mũ như $a^{1/n}$. Với $a$ là số thực dương,

$$a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$$

và tổng quát hơn,

$$a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$$

Điều này rất hữu ích, nhưng miền xác định là yếu tố quan trọng. Trong đại số cơ bản, cách an toàn nhất trong tập số thực là dùng quy tắc này khi $a > 0$.

Những lỗi thường gặp với quy tắc số mũ

1. Cộng số mũ khi chia. Trong $\frac{x^8}{x^3}$, kết quả đúng là $x^5$, không phải $x^{11}$.
2. Gộp số mũ khi cơ số không giống nhau. $x^2 \cdot y^2 = (xy)^2$, không phải $x^4$.
3. Hiểu sai số mũ âm. $x^{-2} = \frac{1}{x^2}$, không phải $-x^2$.
4. Dùng $a^0 = 1$ khi $a = 0$. Biểu thức $0^0$ cần được xét riêng và không thuộc quy tắc thông thường.
5. Phân phối số mũ qua phép cộng. Nói chung, $(a+b)^n$ không rút gọn thành $a^n+b^n$.

Khi nào dùng các quy tắc số mũ

Các quy tắc số mũ xuất hiện trong đại số, ký hiệu khoa học, đa thức, phương trình mũ và logarit. Chúng cũng xuất hiện sau này trong giải tích khi cần viết lại các lũy thừa trước khi lấy đạo hàm hoặc tích phân.

Tự thử một bài tương tự

Hãy thử rút gọn

$$\frac{(2y^3)^2}{4y}$$

Sau đó kiểm tra xem mỗi bước có thực sự dùng một quy tắc hay chỉ là một mẹo làm nhanh. Nếu muốn đi thêm một bước, hãy thử phiên bản của riêng bạn trong công cụ giải và so sánh cách các số mũ thay đổi qua từng dòng.