Yüzey Alanı — Tüm 3B Şekillerin Formülleri

Yüzey alanı, 3 boyutlu bir şeklin dışındaki toplam alandır. Bir katıyı kâğıtla kapladığınızı düşünürseniz, yüzey alanı ne kadar kâğıdın onu kapladığını gösterir.

Formül, şekle ve hangi kısımların dahil edildiğine bağlıdır. Aşağıdaki formüller kapalı cisimler içindir; yani dıştaki tüm yüzleri veya eğri yüzeyleri sayar.

Yaygın 3B şekiller için yüzey alanı formülleri

Ayrıt uzunluğu $a$ olan küp:

$$SA = 6a^2$$

Uzunluğu $l$, genişliği $w$ ve yüksekliği $h$ olan dikdörtgenler prizması:

$$SA = 2(lw + lh + wh)$$

Yarıçapı $r$ ve yüksekliği $h$ olan dik dairesel silindir:

$$SA = 2\pi r^2 + 2\pi rh = 2\pi r(r+h)$$

Yarıçapı $r$ olan küre:

$$SA = 4\pi r^2$$

Yarıçapı $r$ ve ana doğrusu $l$ olan dik dairesel koni:

$$SA = \pi r^2 + \pi rl = \pi r(r+l)$$

Silindir formülünde $2\pi r^2$ terimi iki dairesel tabanı da sayar. Koni formülünde $\pi r^2$ terimi tabanı, $\pi rl$ terimi ise eğri yan yüzeyi sayar. Bir katı bir tarafından açıksa, eksik olan kısmı çıkarın.

Yüzey alanı ne anlama gelir?

Yüzey alanı, hacimden farklıdır. Yüzey alanı dış kaplamayı kare birimlerle ölçer; hacim ise içteki boşluğu küp birimlerle ölçer.

Bu fark önemlidir çünkü formüller farklı soruları cevaplar. Bir tankı boyamak, bir kutuyu kaplamak ya da bir topun dışını örtmek yüzey alanıyla ilgilidir. Tankı doldurmak ise hacimle ilgilidir.

Doğru yüzey alanı formülü nasıl seçilir?

İşe şu iki soruyu sorarak başlayın:

1. Şekil nedir?
2. Hangi ölçüler verilmiş?

Bir soruda silindirin yarıçapı yerine çapı verilmişse, önce $r = d/2$ ile dönüştürün. Bir soruda koninin eğik yüksekliği değil de dik yüksekliği verilmişse, dik yüksekliği doğrudan $\pi r(r+l)$ içine yazmayın.

Dik konide eğik yükseklik, Pisagor bağıntısından bulunur:

$$l = \sqrt{r^2 + h^2}$$

Burada $h$, dik yüksekliği gösterir.

Çözümlü örnek: bir silindirin yüzey alanı

Dik dairesel bir silindirin yarıçapının $3$ cm, yüksekliğinin $8$ cm olduğunu düşünün. Toplam yüzey alanını bulun.

Formülü kullanın:

$$SA = 2\pi r^2 + 2\pi rh$$

$r = 3$ ve $h = 8$ değerlerini yerine yazın:

$$SA = 2\pi(3)^2 + 2\pi(3)(8)$$ $$SA = 18\pi + 48\pi = 66\pi$$

Buna göre tam yüzey alanı:

$$66\pi \text{ cm}^2$$

Ondalıklı yaklaşık değer gerekirse:

$$66\pi \approx 207.3 \text{ cm}^2$$

Bu sonuç mantıklıdır çünkü silindirin iki dairesel tabanı ve bir eğri yan yüzeyi vardır; üçü de hesaba katılmıştır.

Yüzey alanında sık yapılan hatalar

1. Yüzey alanını hacimle karıştırmak. Yüzey alanı $\text{cm}^2$ gibi kare birimlerle yazılır, küp birimlerle değil.
2. Formül yarıçap isterken çap kullanmak.
3. Özellikle küp, prizma ve silindirde bir yüzü ya da bir tabanı unutmak.
4. Konide eğik yükseklik yerine dik yüksekliği kullanmak.
5. Hesaplamadan önce birimleri karıştırmak; örneğin bir ölçü santimetre, diğeri metre olmak.

Yüzey alanı gerçek problemlerde ne zaman kullanılır?

Yüzey alanı; kaplama, kapatlama veya dışa açık olma durumlarıyla ilgilendiğinizde kullanışlıdır. Tipik örnekler arasında duvar boyası, bir kutu için hediye kâğıdı, bir kutunun etrafındaki etiket malzemesi veya bir topun dış malzemesi vardır.

Formül, nesneye uymalıdır. Küre formülü bir top için uygundur çünkü şekli küreye yakındır. Silindir formülü bir kutu içecek için uygundur çünkü şekli dik dairesel silindire yakındır.

Yüzey alanını düşünmenin hızlı bir yolu

Düzlemsel şekillerde alan, iç bölgeyi ölçer. Katılarda ise yüzey alanı, dıştaki tüm yüzlerin veya yüzeylerin alanlarını toplar.

Bu yüzden birçok formül “birkaç alanın toplamı” gibi görünür. Dikdörtgenler prizmasında altı dikdörtgen yüz toplanır. Silindirde iki daire ve bir eğri yan yüzey toplanır. Konide bir daire ve bir eğri yan yüzey toplanır.

Benzer bir soru deneyin

Ölçüleri $4$ cm, $5$ cm ve $7$ cm olan bir dikdörtgenler prizmasıyla kendi örneğinizi çözün. Toplam dış alanı hesaplayın, sonra cevabınızın kare birimlerle yazıldığını kontrol edin.

Bir adım daha ileri gitmek isterseniz, aynı cismin hacmini de bulun ve birimleri karşılaştırın. Bu, yüzey alanı ile hacmi karıştırmayı bırakmanın en hızlı yoludur.