การแปลงทางเรขาคณิต — การเลื่อน การหมุน การสะท้อน และการย่อขยาย

การแปลงทางเรขาคณิตคือกฎที่ส่งแต่ละจุดของรูปไปยังจุดใหม่ การแปลงหลัก 4 แบบที่นักเรียนมักเรียนก่อนคือ การเลื่อน การหมุน การสะท้อน และการย่อขยาย

วิธีแยกอย่างรวดเร็วคือแบบนี้: การเลื่อนคือการขยับ การหมุนคือการหมุนรอบจุด การสะท้อนคือการพลิก และการย่อขยายคือการเปลี่ยนขนาด การเลื่อน การหมุน และการสะท้อนคงทั้งขนาดและรูปร่างไว้ ส่วนการย่อขยายคงรูปร่างแต่เปลี่ยนขนาด ยกเว้นเมื่ออัตราส่วนการย่อขยายเป็น $1$

การแปลงแต่ละแบบทำอะไร

การเลื่อน ย้ายทุกจุดไปเป็นระยะเท่ากันในทิศทางเดียวกัน ไม่มีการหมุนหรือพลิก

การหมุน หมุนรูปไปรอบจุดคงที่ที่เรียกว่า จุดศูนย์กลางการหมุน ขนาดของมุมและทิศทางมีความสำคัญ

การสะท้อน พลิกรูปข้ามเส้นหนึ่ง ซึ่งเรียกว่า เส้นสะท้อน จุดต่าง ๆ จะไปอยู่ห่างจากเส้นนั้นในระยะตั้งฉากเท่ากันที่อีกด้านหนึ่ง

การย่อขยาย ขยายหรือย่อรูปจากจุดศูนย์กลางคงที่ด้วยอัตราส่วนการย่อขยาย ถ้า $k > 1$ ภาพจะใหญ่ขึ้น ถ้า $0 < k < 1$ ภาพจะเล็กลง

กฎพิกัดที่ใช้ได้อย่างปลอดภัย

กฎลัดเหล่านี้ใช้ได้เฉพาะเมื่อเป็นไปตามเงื่อนไขที่ระบุเท่านั้น ถ้าจุดศูนย์กลางหรือเส้นสะท้อนเปลี่ยน กฎพิกัดก็จะเปลี่ยนตาม

สำหรับการเลื่อนด้วยเวกเตอร์ $(a, b)$

$$(x, y) \to (x + a, y + b)$$

สำหรับการหมุนรอบจุดกำเนิด:

$$90^\circ \text{ ทวนเข็มนาฬิกา}: (x, y) \to (-y, x)$$ $$180^\circ: (x, y) \to (-x, -y)$$ $$90^\circ \text{ ตามเข็มนาฬิกา}: (x, y) \to (y, -x)$$

สำหรับการสะท้อน:

$$\text{สะท้อนข้ามแกน } x\text{: } (x, y) \to (x, -y)$$ $$\text{สะท้อนข้ามแกน } y\text{: } (x, y) \to (-x, y)$$ $$\text{สะท้อนข้ามเส้น } y = x\text{: } (x, y) \to (y, x)$$

สำหรับการย่อขยายจากจุดกำเนิดด้วยอัตราส่วนการย่อขยาย $k$

$$(x, y) \to (kx, ky)$$

ตัวอย่างทำครบหนึ่งข้อ: จุดเดียวภายใต้การแปลงทั้งสี่แบบ

ใช้จุด $P(2, 1)$ เพื่อให้เห็นชัดว่ามีอะไรเปลี่ยนไปในแต่ละครั้ง

ถ้าเลื่อนด้วย $(3, -2)$ ให้นำค่านั้นไปบวกกับพิกัด:

$$(2, 1) \to (2 + 3, 1 - 2) = (5, -1)$$

ถ้าหมุน $90^\circ$ ทวนเข็มนาฬิการอบจุดกำเนิด ใช้กฎ $(x, y) \to (-y, x)$:

$$(2, 1) \to (-1, 2)$$

ถ้าสะท้อนข้ามแกน $y$ ให้เปลี่ยนเครื่องหมายของพิกัด $x$:

$$(2, 1) \to (-2, 1)$$

ถ้าย่อขยายจากจุดกำเนิดด้วยอัตราส่วนการย่อขยาย $2$ ให้คูณพิกัดทั้งสองด้วย $2$:

$$(2, 1) \to (4, 2)$$

ตัวอย่างเดียวนี้แสดงความแตกต่างหลักได้อย่างรวดเร็ว:

• การเลื่อนเปลี่ยนตำแหน่ง
• การหมุนเปลี่ยนแนววางรอบจุดศูนย์กลาง
• การสะท้อนกลับรูปข้ามเส้น
• การย่อขยายเปลี่ยนขนาดตามอัตราส่วนการย่อขยาย

รูปหลายเหลี่ยมก็ใช้หลักเดียวกัน แปลงจุดยอดแต่ละจุด แล้วเชื่อมภาพใหม่ตามลำดับเดิม

วิธีเข้าใจให้เร็วที่สุด: ถามว่าอะไรคงที่

การแปลงจะระบุได้ง่ายขึ้นเมื่อคุณถามว่าอะไรคงที่

ในการเลื่อน ทิศทางและระยะทางคงที่ ในการหมุน จุดศูนย์กลางคงที่ ในการสะท้อน เส้นสะท้อนคงที่ ในการย่อขยาย จุดศูนย์กลางและอัตราส่วนการย่อขยายคงที่

วิธีนี้เชื่อถือได้มากกว่าการท่องจำกฎเพียงอย่างเดียว ถ้าคุณรู้ว่าสิ่งอ้างอิงที่คงที่คืออะไร คุณก็มักจะสร้างวิธีที่ถูกต้องขึ้นมาใหม่ได้ แม้จะลืมกฎลัดไปแล้วก็ตาม

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในการแปลง

ลืมเงื่อนไขของกฎ

กฎลัด $(x, y) \to (-y, x)$ ใช้ได้เฉพาะกับการหมุน $90^\circ$ ทวนเข็มนาฬิการอบจุดกำเนิดเท่านั้น ถ้าเปลี่ยนจุดศูนย์กลาง ก็ต้องใช้วิธีที่ต่างออกไป

สับสนระหว่างตามเข็มกับทวนเข็มนาฬิกา

นี่เป็นหนึ่งในข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดในเรขาคณิตพิกัด ถ้าทิศทางไม่ได้ระบุชัดเจน ให้หยุดก่อนแล้วระบุทิศทางให้แน่ชัดก่อนแปลงจุด

คิดว่าการย่อขยายคงความยาวเดิม

การย่อขยายคงรูปร่าง แต่ไม่คงขนาดจริง ความยาวด้านจะถูกคูณด้วยอัตราส่วนการย่อขยาย ดังนั้นภาพที่ได้จึงคล้ายกับรูปเดิม ไม่ได้เท่ากันทุกประการโดยทั่วไป

สะท้อนข้ามเส้นผิดเส้น

การสะท้อนข้ามแกน $x$ แกน $y$ และเส้น $y = x$ ให้ผลลัพธ์ต่างกัน พิกัดอาจดูคล้ายกัน แต่กฎไม่สามารถใช้แทนกันได้

การแปลงถูกใช้ที่ไหนบ้าง

การแปลงพบได้ในเรขาคณิตพิกัด โจทย์สมมาตร การเขียนกราฟ คอมพิวเตอร์กราฟิก การย่อขยายแผนที่ และการสร้างแบบจำลองเบื้องต้น การแปลงมีประโยชน์ทุกครั้งที่คุณต้องการอธิบายว่ารูปทรงเคลื่อนที่ หมุน พลิก หรือเปลี่ยนขนาดอย่างไร โดยไม่ต้องกำหนดทุกจุดใหม่ตั้งแต่ต้น

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองสร้างโจทย์ของคุณเองด้วยสามเหลี่ยม $A(0, 1)$, $B(3, 1)$ และ $C(1, 4)$ เลื่อนด้วย $(2, -1)$ แล้วสะท้อนข้ามแกน $y$ จากนั้นตรวจสอบว่าการแปลงแบบใดคงความยาวด้านไว้เท่าเดิม ถ้าอยากลองต่อ ให้ทำโจทย์คล้ายกันโดยมีการหมุนรอบจุดกำเนิด แล้วเปรียบเทียบพิกัดใหม่