Phép biến hình — Tịnh tiến, quay, đối xứng & vị tự

Trong hình học, phép biến hình là những quy tắc biến mỗi điểm của một hình thành một điểm mới. Bốn phép biến hình chính mà học sinh thường gặp đầu tiên là phép tịnh tiến, phép quay, phép đối xứng và phép vị tự.

Cách nhanh nhất để phân biệt chúng là: tịnh tiến là trượt, quay là xoay, đối xứng là lật, còn vị tự là thay đổi kích thước. Phép tịnh tiến, phép quay và phép đối xứng giữ nguyên kích thước và hình dạng. Phép vị tự giữ nguyên hình dạng nhưng thay đổi kích thước, trừ khi tỉ số là $1$.

Mỗi Loại Phép Biến Hình Làm Gì

Phép tịnh tiến dời mọi điểm cùng một khoảng theo cùng một hướng. Hình không bị quay hay lật.

Phép quay xoay một hình quanh một điểm cố định gọi là tâm quay. Góc quay và chiều quay đều quan trọng.

Phép đối xứng lật một hình qua một đường thẳng, gọi là trục đối xứng. Các điểm sẽ nằm ở phía bên kia của đường đó với cùng khoảng cách vuông góc.

Phép vị tự phóng to hoặc thu nhỏ một hình từ một tâm cố định theo tỉ số. Nếu $k > 1$, ảnh lớn hơn. Nếu $0 < k < 1$, ảnh nhỏ hơn.

Các Quy Tắc Tọa Độ Có Thể Dùng An Toàn

Những quy tắc rút gọn này chỉ đúng trong điều kiện đã nêu. Nếu tâm hoặc trục đối xứng thay đổi, quy tắc tọa độ cũng thay đổi theo.

Với phép tịnh tiến theo vectơ $(a, b)$,

$$(x, y) \to (x + a, y + b)$$

Với phép quay quanh gốc tọa độ:

$$90^\circ \text{ ngược chiều kim đồng hồ}: (x, y) \to (-y, x)$$ $$180^\circ: (x, y) \to (-x, -y)$$ $$90^\circ \text{ cùng chiều kim đồng hồ}: (x, y) \to (y, -x)$$

Với phép đối xứng:

$$\text{qua trục } x\text{: } (x, y) \to (x, -y)$$ $$\text{qua trục } y\text{: } (x, y) \to (-x, y)$$ $$\text{qua đường thẳng } y = x\text{: } (x, y) \to (y, x)$$

Với phép vị tự tâm gốc tọa độ, tỉ số $k$,

$$(x, y) \to (kx, ky)$$

Một Ví Dụ Hoàn Chỉnh: Cùng Một Điểm Qua Bốn Phép Biến Hình

Dùng điểm $P(2, 1)$ để bạn thấy chính xác điều gì thay đổi trong mỗi trường hợp.

Nếu tịnh tiến điểm đó theo $(3, -2)$, hãy cộng các giá trị đó vào tọa độ:

$$(2, 1) \to (2 + 3, 1 - 2) = (5, -1)$$

Nếu quay nó $90^\circ$ ngược chiều kim đồng hồ quanh gốc tọa độ, dùng quy tắc $(x, y) \to (-y, x)$:

$$(2, 1) \to (-1, 2)$$

Nếu lấy đối xứng qua trục $y$, đổi dấu tọa độ $x$:

$$(2, 1) \to (-2, 1)$$

Nếu vị tự tâm gốc tọa độ với tỉ số $2$, nhân cả hai tọa độ với $2$:

$$(2, 1) \to (4, 2)$$

Ví dụ duy nhất này cho thấy nhanh sự khác nhau chính:

• phép tịnh tiến làm thay đổi vị trí
• phép quay làm thay đổi hướng quanh một tâm
• phép đối xứng đảo hình qua một đường thẳng
• phép vị tự làm thay đổi kích thước theo một tỉ số

Một đa giác cũng làm tương tự. Hãy biến đổi từng đỉnh rồi nối lại ảnh theo đúng thứ tự ban đầu.

Cách Hiểu Nhanh Nhất: Hỏi Điều Gì Được Giữ Cố Định

Một phép biến hình sẽ dễ nhận ra hơn khi bạn hỏi điều gì được giữ cố định.

Trong phép tịnh tiến, hướng và khoảng dời được giữ cố định. Trong phép quay, tâm được giữ cố định. Trong phép đối xứng, trục gương được giữ cố định. Trong phép vị tự, tâm và tỉ số được giữ cố định.

Cách này đáng tin hơn là chỉ học thuộc quy tắc. Nếu bạn biết mốc cố định, bạn thường có thể dựng lại đúng quy trình ngay cả khi quên công thức rút gọn.

Những Lỗi Thường Gặp Với Phép Biến Hình

Quên điều kiện của quy tắc

Quy tắc rút gọn $(x, y) \to (-y, x)$ chỉ đúng cho phép quay $90^\circ$ ngược chiều kim đồng hồ quanh gốc tọa độ. Nếu đổi tâm quay, bạn cần một quy trình khác.

Nhầm giữa cùng chiều và ngược chiều kim đồng hồ

Đây là một trong những lỗi phổ biến nhất trong hình học tọa độ. Nếu chiều quay không được nêu rõ, hãy dừng lại và xác định nó trước khi biến đổi điểm.

Cho rằng phép vị tự bảo toàn độ dài

Phép vị tự bảo toàn hình dạng, không bảo toàn kích thước thực. Độ dài các cạnh được nhân với tỉ số, nên ảnh đồng dạng với hình gốc chứ thường không bằng nhau hoàn toàn.

Đối xứng qua sai đường

Lấy đối xứng qua trục $x$, trục $y$ và đường thẳng $y = x$ cho ra các kết quả khác nhau. Tọa độ có thể trông giống nhau, nhưng các quy tắc này không thể thay thế cho nhau.

Phép Biến Hình Được Dùng Ở Đâu

Phép biến hình xuất hiện trong hình học tọa độ, các bài toán đối xứng, vẽ đồ thị, đồ họa máy tính, tỉ lệ bản đồ và mô hình hóa cơ bản. Chúng hữu ích bất cứ khi nào bạn cần mô tả một hình di chuyển, quay, lật hoặc thay đổi kích thước mà không phải xác định lại từng điểm từ đầu.

Hãy Thử Một Bài Tương Tự

Hãy tự làm một phiên bản của riêng bạn với tam giác $A(0, 1)$, $B(3, 1)$ và $C(1, 4)$. Tịnh tiến nó theo $(2, -1)$, rồi lấy đối xứng qua trục $y$, và kiểm tra phép biến hình nào giữ nguyên độ dài các cạnh. Nếu muốn làm thêm, hãy giải một bài tương tự với phép quay quanh gốc tọa độ và so sánh các tọa độ mới.