Przekształcenia geometryczne — przesunięcie, obrót, odbicie i dylatacja

Przekształcenia geometryczne to reguły, które przyporządkowują każdemu punktowi figury nowy punkt. Cztery główne przekształcenia, z którymi uczniowie spotykają się najpierw, to przesunięcie, obrót, odbicie i dylatacja.

Najszybszy sposób, by je rozróżnić, jest taki: przesunięcie przesuwa, obrót obraca, odbicie odwraca, a dylatacja zmienia rozmiar. Przesunięcie, obrót i odbicie zachowują rozmiar oraz kształt. Dylatacja zachowuje kształt, ale zmienia rozmiar, chyba że skala wynosi $1$.

Co robi każdy rodzaj przekształcenia

Przesunięcie przenosi każdy punkt o tę samą odległość w tym samym kierunku. Nic się nie obraca ani nie odwraca.

Obrót obraca figurę wokół ustalonego punktu zwanego środkiem obrotu. Znaczenie mają zarówno kąt, jak i kierunek.

Odbicie odwraca figurę względem prostej zwanej osią odbicia. Punkty trafiają po drugiej stronie tej prostej w tej samej odległości prostopadłej.

Dylatacja powiększa lub pomniejsza figurę względem ustalonego środka według skali. Jeśli $k > 1$, obraz staje się większy. Jeśli $0 < k < 1$, obraz staje się mniejszy.

Reguły współrzędnych, których możesz bezpiecznie używać

Te skrócone reguły działają tylko przy podanym warunku. Jeśli zmieni się środek albo oś odbicia, reguła współrzędnych też się zmienia.

Dla przesunięcia o wektor $(a, b)$,

$$(x, y) \to (x + a, y + b)$$

Dla obrotu wokół początku układu:

$$90^\circ \text{ przeciwnie do ruchu wskazówek zegara}: (x, y) \to (-y, x)$$ $$180^\circ: (x, y) \to (-x, -y)$$ $$90^\circ \text{ zgodnie z ruchem wskazówek zegara}: (x, y) \to (y, -x)$$

Dla odbić:

$$\text{względem osi } x\text{: } (x, y) \to (x, -y)$$ $$\text{względem osi } y\text{: } (x, y) \to (-x, y)$$ $$\text{względem prostej } y = x\text{: } (x, y) \to (y, x)$$

Dla dylatacji o środku w początku układu i skali $k$,

$$(x, y) \to (kx, ky)$$

Jeden rozwiązany przykład: ten sam punkt w czterech przekształceniach

Użyj punktu $P(2, 1)$, aby dokładnie zobaczyć, co zmienia się za każdym razem.

Jeśli przesuniesz go o $(3, -2)$, dodaj te wartości do współrzędnych:

$$(2, 1) \to (2 + 3, 1 - 2) = (5, -1)$$

Jeśli obrócisz go o $90^\circ$ przeciwnie do ruchu wskazówek zegara wokół początku układu, użyj reguły $(x, y) \to (-y, x)$:

$$(2, 1) \to (-1, 2)$$

Jeśli odbijesz go względem osi $y$, zmień znak współrzędnej $x$:

$$(2, 1) \to (-2, 1)$$

Jeśli wykonasz dylatację względem początku układu w skali $2$, pomnóż obie współrzędne przez $2$:

$$(2, 1) \to (4, 2)$$

Ten jeden przykład szybko pokazuje główną różnicę:

• przesunięcie zmienia położenie
• obrót zmienia ustawienie wokół środka
• odbicie odwraca figurę względem prostej
• dylatacja zmienia rozmiar zgodnie ze skalą

Wielokąt działa tak samo. Przekształć każdy wierzchołek, a potem połącz obraz w tej samej kolejności.

Najszybsza intuicja: zapytaj, co pozostaje stałe

Przekształcenie łatwiej rozpoznać, gdy zapytasz, co pozostaje stałe.

Przy przesunięciu stałe są kierunek i odległość. Przy obrocie stały jest środek. Przy odbiciu stała jest oś symetrii. Przy dylatacji stałe są środek i skala.

To jest bardziej niezawodne niż samo zapamiętywanie reguł. Jeśli znasz stały punkt lub prostą odniesienia, zwykle potrafisz odtworzyć poprawny sposób postępowania, nawet gdy zapomnisz skróconej reguły.

Typowe błędy przy przekształceniach

Zapominanie o warunku dla danej reguły

Skrót $(x, y) \to (-y, x)$ działa tylko dla obrotu o $90^\circ$ przeciwnie do ruchu wskazówek zegara wokół początku układu. Zmień środek, a potrzebujesz innego sposobu.

Mylenie obrotu zgodnego i przeciwnego do ruchu wskazówek zegara

To jeden z najczęstszych błędów w geometrii analitycznej. Jeśli kierunek nie jest jasno podany, zatrzymaj się i ustal go przed przekształceniem punktu.

Zakładanie, że dylatacja zachowuje długość

Dylatacja zachowuje kształt, a nie rzeczywisty rozmiar. Długości boków są mnożone przez skalę, więc obraz jest podobny do figury wyjściowej, a nie zwykle z nią przystający.

Odbicie względem niewłaściwej prostej

Odbicie względem osi $x$, osi $y$ i prostej $y = x$ daje różne wyniki. Współrzędne mogą wyglądać podobnie, ale tych reguł nie można stosować zamiennie.

Gdzie stosuje się przekształcenia

Przekształcenia pojawiają się w geometrii analitycznej, zadaniach z symetrii, rysowaniu wykresów, grafice komputerowej, skalowaniu map i prostym modelowaniu. Są przydatne wszędzie tam, gdzie trzeba opisać, jak figura się przesuwa, obraca, odbija lub zmienia rozmiar bez wyznaczania od nowa każdego punktu.

Spróbuj podobnego zadania

Spróbuj własnej wersji z trójkątem $A(0, 1)$, $B(3, 1)$ i $C(1, 4)$. Przesuń go o $(2, -1)$, a potem odbij względem osi $y$, i sprawdź, które przekształcenie zachowuje długości boków. Jeśli chcesz pójść dalej, rozwiąż podobne zadanie z obrotem wokół początku układu i porównaj nowe współrzędne.